Ответы
Сначала найдем общий вид первообразных данной функции.
Для этого будем использовать следующие правила:
1. Если - первообразная для , то - первообразная для .
2. Если - первообразная для , то - первообразная для .
Кроме этого, надо знать таблицу первообразных. Таблица первообразных - это по сутт таблица производных с той лишь разницей, что производные в ней играю роль исходных функций, а исходные функции - роль первообразных.
Пользуясь первым правилом, мы понимаем: чтобы найти первообразную функции , надо найти первообразную функции .
Пользуясь первым правилом, мы понимаем: чтобы найти первообразную функции , надо найти первообразную функции .
Можно вспомнить, что выражение фигурирует в таблице производных, а именно выполняется соотношение:
или:
Таким образом, первообразной для для функции является функция , а общий вид таких первообразных задается как , где - некоторая константа.
Теперь вместо подставим в функцию выражение, имеющее вид линейной функции: . По второму правилу, чтобы получить первообразную такой функции, мы должны в исходную первообразную вместо подставить это выражение и разделить получившуюся функцию на угловой коэффициент выражения. Получим:
Теперь умножим функцию на 4: . По первому правилу, тогда и первообразная умножится на 4:
Над константой какие-либо действия можно не выполнять, так как в результате все равно будет получена константа.
Множество первообразных можно также найти с помощью неопределенного интеграла, воспользовавшись формулой:
Запишем:
Теперь найдем значение , при котором график функции проходит через точку :
Значит, искомая первообразная имеет вид: