Question

Помогите решить по геометрии. Касательная к окружности​

Answer 1

Доказательство:

Лемма. Пустьо из точки $A$, лежащей вне окружности, проведены касательная $AB$ и секущая $AD$. Докажем, что $AB^2=AD\cdot AC$

$\angle ABC$ образован касательной $AB$ и хордой $BC$, проходящей через точку касания $B$. Тогда

$\angle ABC = \dfrac{1}{2} \breve{BC}$

$\angle BDC$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $BC$. Тогда

$\angle BDC= \dfrac{1}{2} \breve{BC}$

Получается, что $\angle ABC = \angle BDC$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ABD$.
Они подобны (угол $\angle A$ общий, $\angle ABC = \angle BDC$)

Следовательно, верно равенство

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AB} ~\Leftrightarrow~AB^2=AD\cdot AC$

Доказательство

Проведем касательную $PA$ к окружности из точки $P$.

Получим, что $PF$ и $PK$ - секущие, а значит по доказанной лемме верны равенства

$PA^2=PE\cdot PF$ и $PA^2=PM\cdot PK$

Получаем, что $PE\cdot PF = PM \cdot PK$, что и требовалось доказать.