Question

Знайти площу фигури, обмеженої лініями:
xy =3 , y =3+2,
y=1

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle S = 3(\sqrt{10}-2) + \frac{5}{3} -3ln(\sqrt{10} -1)$

Пошаговое объяснение:

Строим графики, определяемся с фигурой, пределами интегрирования и по формуле Ньютона-Лейбница ищем площадь фигуры.

Наша искомая фигура состоит из двух фигур, определяемых двумя функциями. Вот и придется нам искать две площади.

И, более того, по графикам не определяются точные границы.

Поэтому поищем их самостоятельно.

Самая противная средняя граница.

Ищем ее как пересечение графиков функций у = х/3 и у = 3х+2.

$\displaystyle \frac{3}{x } =3x+2 \quad \bigg |*x\\\\3=3x^2+2x\\\\3x^2+2x-3 = 0\\\\D = b^2-4ac = 4 +36 =40\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{-2+2\sqrt{10} }{6} =\frac{\sqrt{10} -1}{3} \\\\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{-2-2\sqrt{10} }{6} =\frac{-\sqrt{10} -1}{3}$

Корень х₂ для нас не актуален, он относится к нижней части графика ху=3.

Мы рассматриваем только корень х₁ = ( (√10 -1)/3). - это наш "центральный" предел интегрирования

Самая левая точка интегрирования определяем как пересечение графиков функций у = 1  и у = 3х +2

3х +2 = 1

х = -1/3

Наш "левый" предел интегрирования х₀ = (-1/3)

И с правым совсем просто. х₂ = 3

Ну и вот....

Ищем площадь S1

$\displaystyle S1=\int\limits^{ {(\sqrt{10}-1)/3} }_{-1/3} {(3x+2-1) = } \, dx =3\frac{x^2}{2} \bigg |_{-1/3}^{(\sqrt{10} -1)/3}+x \bigg |_{-1/3}^{(\sqrt{10} -1)/3}=\\\\\\=\frac{5-\sqrt{10} }{3} +\frac{\sqrt{10} }{3} =\frac{5 }{3}$

Теперь ищем площадь S2

$\displaystyle S2=\int\limits^3_{(\sqrt{10} -1)/3} {\bigg(\frac{3}{x} -1} \bigg)\, dx =\int\limits^{ (\sqrt{10} -1)/3 }_{3} {-\bigg(\frac{3}{x} +1} \bigg)\, dx=\\\\\\=-3ln(x)\bigg|^3_{(\sqrt{10} -1)/3} -x\bigg|^3_{(\sqrt{10} -1)/3} =\\\\\\=-3ln(\sqrt{10} -1)+3(\sqrt{10-2)}$

И теперь сумма

$\displaystyle S = 3(\sqrt{10}-2) + \frac{5}{3} -3ln(\sqrt{10} -1)$