Question

СРОЧНО sinx-sin3x=4sin^2x*cosx

Answer 1

Формула разности синусов:

$\sin\alpha -\sin\beta =2\sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}$

Рассмотрим уравнение:

$\sin x-\sin3x=4\sin^2x\cos x$

$2\sin\dfrac{x-3x}{2} \cos\dfrac{x+3x}{2} =4\sin^2x\cos x$

$2\sin(-x) \cos2x =4\sin^2x\cos x$

$-2\sin x \cos2x =4\sin^2x\cos x$

$4\sin^2x\cos x+2\sin x \cos2x=0$

$2\sin x(2\sin x\cos x+ \cos2x)=0$

Произведение равно нулю когда один из множителей равен нулю.

Получаем два уравнения. Решаем первое:

$2\sin x=0$

$\sin x=0$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$2\sin x\cos x+ \cos2x=0$

$\sin2x+ \cos2x=0$

Разделим уравнение почленно на $\cos2x\neq 0$:

$\mathrm{tg}\,2x+1=0$

$\mathrm{tg}\,2x=-1$

$2x=-\dfrac{\pi }{4} +\pi n$

$x=-\dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\pi n;\ -\dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$