Question

Помогите пожалуйста решить уравнение:
$\frac{8 \sin(x) \times \cos(x) \times \sin(2x) - 1 }{ \sqrt{3} + 2 \sin(4x) } = 0$
​

Answer 1

для начала найдём ОДЗ нашего уравнения:

$\sqrt{3} +2sin(4x) \neq 0\\sin(4x) \neq -\frac{\sqrt{3} }{2} \\4x \neq (-1)^{n+1} \frac{\pi }{3} + \pi n\\x \neq (-1)^{n+1} \frac{\pi }{12} + \frac{\pi n }{4}$, n принадлежит Z

теперь решаем уравнение:

$8sin(x)cos(x)sin(2x) - 1 = 0\\4sin^{2}(2x) -1 = 0\\sin^{2}2x = \frac{1}{4}$

откуда выходит:

sin(2x) = ±$\frac{1}{2}$

$2x = (-1)^k\frac{\pi }{6} + \pi k$  или $2x = (-1)^{m+1}\frac{\pi }{6} + \pi m$

$x = (-1)^{k} \frac{\pi }{12} + \frac{\pi k}{2}$ или $x = (-1)^{m+1}\frac{\pi }{12} + \frac{\pi m}{2}$, k и m принадлежат Z