Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ!! sin x>√2cos^2x
Пожалуйста, дайте подробный ответ с решением.

Answer 1

Решение.

$\bf sinx > \sqrt2\, cos^2x\\\\sinx > \sqrt2\cdot (1-sin^2x)\\\\\sqrt2sin^2x+sinx-\sqrt2 > 0$

Замена : $\bf t=sinx\ ,\ \ -1\leq t\leq 1\ \ ,\ \ \ \sqrt2\, t^2+t-\sqrt2 > 0\ ,\ \ D=1+4\sqrt2\cdot \sqrt2=9\ ,\\\\t_1=\dfrac{-1-3}{2\sqrt2}=-\dfrac{2}{\sqrt2}=-\sqrt2 > 1\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{-1+3}{2\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\\\\\\\Big(t+\sqrt2\Big)\Big(t-\dfrac{1}{\sqrt2}\Big) > 0$

знаки функции:    + + + + + (-√2) - - - [-1 ] - - - (1/√2) + + + + + [ 1 ] + + +    

$\bf t < -\sqrt2$  не подходит, так как  $\bf -1\leq t\leq 1$  

$\bf \dfrac{1}{\sqrt2} < t\leq 1\ \ \Rightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}sinx > \dfrac{1}{\sqrt2}\\sinx\leq 1\end{array}\right\\\\\\sinx > \dfrac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ \ \ \dfrac{\pi }{4}+2\pi k < x < \dfrac{3\pi }{4}+2\pi k\ \ ,\ \ \ k\in \mathbb{Z}$  

Ответ:     $\bf \dfrac{\pi }{4}+2\pi k < x < \dfrac{3\pi }{4}+2\pi k\ \ ,\ \ \ k\in \mathbb{Z}\ .$