Question

Здравствуйте, помогите пожалуйста со следующим заданием по алгебре.
Найдите значение выражения х1 2 + х2 2, где х1 и х2 - корни уравнения х2 + 3х +2 =0.
Заранее спасибо!

Answer 1

Ответ:

$5$

Объяснение:

Способ 1 (Через теорему Виета)

Исходное уравнение $x^2+3x+2=0$, его корни $x_1$ и $x_2$

Вспомним теорему Виета и запишем ее:

$\displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=-3} \atop {x_1\cdot x_2=2}} \right.$

Нам нужно найти $x_1^2+x_2^2$. Обозначим его за $X$.

Теперь посмотрим на вот выражение $(x_1+x_2)^2$. Оно равно $(-3)^2=9$. Распишем его.

$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_2x_2+x_2^2=\big(x_1^2+x_2^2\big)+2x_1x_2$

Мы видим искомое выражение в скобках, и произведение. составим уравнение

$9=X+2\cdot2\\9=X+4\\X=\boxed{5}$

Способ 2 (Через вычисления)

Исходное уравнение $x^2+3x+2=0$, его корни $x_1$ и $x_2$. Найдем их

$D=b^2-4ac=9^2-4\cdot1\cdot2=1$

$\displaystyle \left \{ {{x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \atop {x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}} \right.~ \Leftrightarrow~ \left\{ {{x_1=\dfrac{-3+\sqrt{9^2-4\cdot2\cdot1}}{2}} \atop {x_2=\dfrac{-3-\sqrt{9^2-4\cdot2\cdot1}}{2}}} \right.~ \Leftrightarrow~\left \{ {{x_1=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2}} \atop {x_2=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2}}} \right.~ \Leftrightarrow~\\~ \Leftrightarrow~ \left \{ {{x_1=-1} \atop {x_2=-2} \right.$Найдмем значение выражения $x_1^2+x_2^2$

$x_1^2+x_2^2=(-1)^2+(-2)^2=1+4=\boxed{5}$

Answer 2

Объяснение:

$x^2+3x+3=0\ \ \ \ \ x_1^2+x_2^2=?\\\left \{ {{-(x_1+x_2)=3} \atop {x_1*x_2=2}} \right. \ \ \ \ \ \left \{ {{(-(x_1+x_2))^2=3^2} \atop {x_1*x_2=2}} \right. \ \ \ \ \ \left \{ {{x_1^2+2*x_1*x_2+x_2^2=9} \atop {x_1*x_2=2}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{x_1^2+2*2+x_2^2=9} \atop {x_1*x_2=2}} \right. \\ x^2_1+4+x_2^2=9\\x^2_1+x_2^2=5.$