Question

Найдите корни уравнения $f(x)=2$, если $x\neq 0$, и $3f(x)+f(\frac{1}{x})=8x$

Answer 1

$\displaystyle\bf\\f(x)=2\\\\3f\Big(x\Big)+f\Big(\frac{1}{x} \Big)=8x$

Подставим в данное уравнение 1\x вместо x :

$\displaystyle\bf\\3f\Big(\frac{1}{x} \Big)+f(x)=8\cdot \frac{1}{x} \\\\\\3f\Big(\frac{1}{x} \Big)+f(x)= \frac{8}{x} \ | \cdot\frac{1}{3} \\\\\\f\Big(\frac{1}{x} \Big)+\frac{1}{3} f\Big(x\Big)=\frac{8}{3x}$

Вычтем из полученного уравнения первоначальное :

$\displaystyle\bf\\f\Big(\frac{1}{x} \Big)+\frac{1}{3} f(x)-3f\Big(x\Big)-f\Big(\frac{1}{x} \Big)=\frac{8}{3x} -8x\\\\\\-2\frac{2}{3} f\Big(x\Big)=\frac{8-24x^{2} }{3x} \\\\\\-\frac{8}{3} \cdot 2=\frac{8-24x^{2} }{3x} \\\\\\-16=\frac{8-24x^{2} }{x} \\\\\\8-24x^{2} =-16x\\\\\\1-3x^{2} +2x=0\\\\3x^{2} -2x-1=0\\\\\\D=(-2)^{2} -4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16=4^{2} \\\\\\x_{1} =\frac{2-4}{6} =-\frac{1}{3} \\\\\\x_{2} =\frac{2+4}{6} =1\\\\\\Otvet: \ -\frac{1}{3} \ ; \ 1$