Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \lim_{n \to \infty} (x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}) = \dfrac{2\sqrt{2} }{3} } }$

Примечание:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \dfrac{b_{1}}{1 - q}$

Объяснение:

$x_{1} = \sqrt{2}$

$x_{n + 1} = -\dfrac{x_{n}}{2} ;n \in \mathbb N$

Вычислим несколько элементов данной последовательности:

$n = 1: x_{1+ 1} = x_{2} = -\dfrac{x_{1}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

$n = 2: x_{2+ 1} = x_{3} = -\dfrac{x_{2}}{2} = -\dfrac{ -\dfrac{\sqrt{2} }{2} }{2} = \dfrac{\sqrt{2} }{4}$

$n = 3: x_{3+ 1} = x_{4} = -\dfrac{x_{3}}{2} = -\dfrac{\dfrac{\sqrt{2} }{4} }{2} = -\dfrac{\sqrt{2} }{8}$

Можно сделать гипотезу, что последовательность $x_{n}$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Вычислим предполагаемые $b_{1}$ и $q$, то есть соответственно первый элемент прогрессии и её знаменатель.

По условию: $b_{1} = x_{1} = \sqrt{2}$

$x_{2} = - \dfrac{\sqrt{2} }{2}$

По определению знаменателя геометрической последовательности:

$q = \dfrac{x_{2}}{x_{1}} = \dfrac{- \dfrac{\sqrt{2} }{2}}{ \dfrac{\sqrt{2}}{1} } = -0,5$

Так как $|q| < 1$, то по определению данная последовательность  бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, по определению, так как по формуле предыдущий элемент отличается на $-0,5$ согласно формуле $x_{n + 1} = -\dfrac{x_{n}}{2} ;n \in \mathbb N$.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:

$b_{n} = (-0,5)^{n - 1}\sqrt{2}$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \dfrac{\sqrt{2} }{1 - (-0,5)} = \dfrac{\sqrt{2} }{1,5} = \dfrac{2\sqrt{2} }{3}$

$\lim_{n \to \infty} (x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}) = \lim_{n \to \infty} S = S = \dfrac{2\sqrt{2} }{3}$.