Question

По кругу стоят 100 целых чисел. Известно, что сумма все чисел равна нулю. Может ли быть такое, что сумма любых пяти подряд идущих чисел равна отрицательному числу? (отмечу как лучший ответ)

Answer 1

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

По условию

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 < 0;\ a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10} < 0;\ \ldots ;$

$a_{96}+a_{97}+a_{98}+a_{99}+a_{100} < 0.$ Здесь 20 неравенств. Если сложить их, получится

$a_1+a_2+a_3+\ldots +a_{99}+a_{100} < 0,$ что противоречит условию. Кстати, совершенно неважно, числа целые или нет - мы это не использовали.

Замечание. Если бы условие было немного другое, а именно, если бы по кругу стояло n чисел, а вопрос был про сумму любых k чисел, идущих подряд, причем совершенно не принципиально, делится  n на k или нет, то ответ остался бы прежним, но пришлось бы складывать n неравенств типа

$a_1+a_2+\ldots + a_k < 0;\ a_2+a_3+\ldots +a_{k+1} < 0;\ \ldots ;$

$a_{n-1}+a_n+a_1+a_2+\ldots +a_{k-2} < 0;\ a_n+a_1+a_2+\ldots +a_{k-1} < 0.$

В результате получилось бы

$k(a_1+a_2+\ldots +a_n) < 0\Rightarrow a_1+a_2+\ldots + a_n < 0.$