Двойная звезда a Близнецов (Кастор) имеет параллакс 0,063", видимый угловой диаметр большой полуоси 6,06", а период обращения компонентов 306 суток. Вычислите сумму масс звезд.
Ответы
Ответ: Сумма масс звезд = 2,521524*10^36 кг, или ≈ 1268042 масс Солнца.
Объяснение:Дано:
Параллакс Кастора р'' = 0,063''
Угловой размер большой полуоси орбиты двойной звезды α'' = 6,06''
Период обращения компонентов Т = 306 суток = 306*24*60*60 с
Гравитационная постоянная G = 6,6743*10^-11 м³/кг*с²
Найти сумму масс звезд (М1 + М2) - ?
Вначале найдем большую полуось орбиты (Апк) в парсеках.
Апк = α''* S/206265, здесь S – линейное расстояние до звезды. S = 1/р''.
Тогда Апк = α''/р''*206265 = 6,06''/0,063''*206265 = 4,6634*10^-4 пк.
Выразим эту величину в метрах. В одном парсеке 206265 астрономических единиц (а.е.) Одна а.е. равна 1,496*10^11м. Тогда большая полуось орбиты двойной звезды в метрах
Ам = Апк*206265*1,496*10^1 = 4,6634*10^-4*206265*1,496*10^11 м.
Третий закон Кеплера связывает период обращения звезд (Т), большую полуось орбиты (А) и суммарную массы звезд соотношением:
Т = 2π√{А³/G(М1 + М2)} ---------------- (1)
Из выражения (1) сумма масс звезд М1 + М2 = 4π²А³/GT² Подставив числовые значения параметров, имеем: М1 + М2 = 4π²(4,6634*10^-4*206265*1,496*10^11)³/{6,6743*10^-11*
* (306*24*60*60)²} = 2,521524*10^36 кг
Эту задачу можно решить несколько иначе. М1 + М2 = А³/T². Здесь А и Т выражаются в а.е. и годах соответственно, а результат получаем в массах Солнца.
Выше было показано, что большая полуось орбиты в парсеках Апк = α''/р''*206265. Чтобы это расстояние выразить в а.е. надо Апк умножить на количество а.е. в одном парсеке, т.е. умножить на 206265. Тогда большая полуось орбиты в астрономических единицах Аа.е. = α''/р''. В годах Т = 306/365,25. Тогда М1 + М2 = (α''/р'')³/(306/365,25)² = (6,06''/0,063'')³/(306/365,25)² = 1268042 масс Солнца.
В конце, полагаю, надо дать небольшое пояснение. Если предположить равенство масс звезд, то масса одной звезды, получается, больше 600000 масс Солнца. Сегодня из известных звезд самая массивная имеет массу 315 масс Солнца. И эта звезда является сверхмассивной, т.к. расчеты показывают, что предел массы звезды порядка 200 масс Солнца. А в задаче получается 600000. Вывод: условие задачи взято «от потолка», или «высосано из пальца». Параметров, заданных в условии, в реальной жизни быть не может.