Question

Решите пожалуйста неравенство:


-6sin^2x+7cosx+3>0

Answer 1

Ответ:

$-arccos(\frac{1}{3} )+2\pi k < x < arccos(\frac{1}{3} )+2\pi k, \quad k \in Z$

Объяснение:

Выразим квадрат синуса из основного тригонометрического тождества:

$\sin^2x+\cos^2x=1\\\sin^2x=1-\cos^2x$

Подставим:

$-6 \sin^2x+7 \cos x + 3 > 0\\-6(1-\cos^2x)+7 \cos x + 3 > 0\\-6+6 \cos^2x+7 \cos x + 3 > 0\\6 \cos^2x+7 \cos x -3 > 0\\f(x)=6 \cos^2x+7 \cos x -3\\f(x) > 0$

Решим уравнение $f(x)=0$:

$6 \cos^2x+7 \cos x -3=0$

Пусть $t= \cos x$.

$6 t^2+7 t -3=0\\D=b^2-4ac=7^2-4 \cdot 6 \cdot (-3)=49+72=121\\t_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D} }{2a}=\frac{-7 \pm 11}{12}\\ t_1=\frac{1}{3}\\ t_2=-\frac{3}{2}$

$6 t^2+7 t -3 > 0$

$t \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{3}; + \infty)$

Но так как $t = \cos x$, $|t| \leq1$. Поэтому $t \in (\frac{1}{3}; 1]$. Возвращаемся к исходным обозначениям.

$\frac{1}{3} < \cos x \leq 1\\ -arccos(\frac{1}{3} )+2\pi k < x < arccos(\frac{1}{3} )+2\pi k, \quad k \in Z$