Question

Решить с использованием двойного интеграла

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol {S = \frac{2}{3} } }$ квадратных единиц

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по y, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$ будет в виде:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dy \int\limits^{\xi_{2}(y)}_{\xi_{1}(y)} {f(x,y)} \, dx } }$

При этом функции $\xi_{1} (y), \xi_{2} (y)$ - функции ограничивающие область  слева и справа соответственно (смотрите рис(1)).

Объяснение:

По теореме площадь ограниченной области $G$ плоскости:

$\boxed{ \boldsymbol{ S = S(G) =\displaystyle \iint_{G} \, dxdy }}$

Смотрите рис(2)

Область $G:$

$y^{2} = 2x \Longrightarrow x =0,5y^{2}$

$x = y$

Найдем ординату пересечения графиков $x =0,5y^{2}$ и $x = y$

$0,5y^{2} = y|\cdot 2$

$y^{2} = 2y$

$y^{2} - 2y = 0$

$y(y - 2) = 0$

$y_{1} = 0$ или $y - 2 = 0$

$y_{1} = 0$ или $y_{2} = 2$

Границы интегрирования: от 0 до 2

$S =\displaystyle \iint_{G} \, dxdy = \int\limits^2_0 \, dy \int\limits^{y}_{0,5y^{2}} \, dx = \int\limits^2_0 \, \bigg ( \bigg x \bigg|_{0,5y^{2}}^{y} \bigg) dy = \int\limits^2_0 \, \bigg (y -0,5y^{2} \bigg) dy =$

$\displaystyle = \bigg ( \frac{y^{2}}{2} - \frac{0,5y^{3}}{3} \bigg) \bigg |_{0}^{2} = \bigg (\frac{2^{2}}{2}- \frac{0,5 \cdot 2^{3}}{3} \bigg) - \bigg ( \frac{0^{2}}{2} - \frac{0,5 \cdot 0^{3}}{3} \bigg) = \bigg(\frac{4}{2} -\frac{4}{3} \bigg) =$

$\displaystyle = \bigg(2 -\dfrac{4}{3} \bigg) = \dfrac{6 -4}{3} = \frac{2}{3}$ квадратных единиц.