Question

Решить с использованием двойного интеграла

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol {S = \frac{8}{3} } }$ квадратных единиц

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$ будет в виде:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }$

При этом функции $\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)$ - функции ограничивающие область  снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

Взятие интеграла $\displaystyle \int\limits^{1}_{-1} \bigg(2 - 2x^{2} \bigg) \, dx$ с границами от -1 до 1 возможно, так как функция $f(x) = 2 - 2x^{2}$ является четной, так как $f(x) = f(-x)$.

Объяснение:

По теореме площадь ограниченной области $G$ плоскости:

$\boxed{ \boldsymbol{ S = S(G) =\displaystyle \iint_{G} \, dxdy }}$

Смотрите рис(2)

Область $G:$

$y = 2x^{2}$

$y = 2$

Найдем абсциссы пересечения графиков $y = 2x^{2}$ и $y = 2:$

$2x^{2} = 2|:2$

$x^{2} = 1$

$x^{2} -1 =0$

$(x - 1)(x + 1) = 0$

$x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$

$x_{1,2} = \pm1$

Границы интегрирования: от -1 до 1

$\displaystyle S= \iint_{G} dxdy = \int\limits^{1}_{-1} \, dx \int\limits^{2}_{2x^{2} } \, dy = \int\limits^{1}_{-1} \bigg (y \bigg|_{2x^{2} }^{2} \bigg) \, dx =\int\limits^{1}_{-1} \bigg(2 - 2x^{2} \bigg) \, dx =$

$\displaystyle = \bigg( 2x - \frac{2x^{3}}{3} \bigg) \bigg |_{-1}^{1} = \bigg( 2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^{3}}{3} \bigg) \bigg - \bigg( 2 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot (-1)^{3}}{3} \bigg) \bigg =$

$\displaystyle = \bigg( 2 - \frac{2}{3} \bigg) \bigg - \bigg( -2 +\frac{2}{3} \bigg) \bigg = 2 - \frac{2}{3} + 2 - \frac{2}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} - \frac{4}{3}=\frac{12 - 4}{3} = \frac{8}{3}$ квадратных единиц.