Question

Решить с использованием двойного интеграла

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol {S =\frac{16\sqrt{15} }{3} } }$ квадратных единиц

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по y, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$ будет в виде:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dy \int\limits^{\xi_{2}(y)}_{\xi_{1}(y)} {f(x,y)} \, dx } }$

При этом функции $\xi_{1} (y), \xi_{2} (y)$ - функции ограничивающие область  слева и справа соответственно (смотрите рис(1)).

По теореме:

Если функция $y = f(x)$ непрерывна на $\mathbb R$ и является четной, то $\boxed{ \displaystyle \int\limits^{a}_{-a} {f(x)} \, dx =2 \int\limits^a_0 {f(x)} \, dx }$ при $a > 0$.

Рассмотрим функцию $f(y) = 4 - \dfrac{4y^{2}}{15}$.

$f(-y) =4 - \dfrac{4\cdot (-y)^{2}}{15} = 4 - \dfrac{4y^{2}}{15}$

Так как $f(-y) = f(y)$, то по определению функция является четной.

Объяснение:

По теореме площадь ограниченной области $G$ плоскости:

$\boxed{ \boldsymbol{ S = S(G) =\displaystyle \iint_{G} \, dxdy }}$

Смотрите рис(2)

Область (голубая область) $G:$

$y^{2} = 10x + 25 \Longrightarrow x = 0,1y^{2} -2,5$

$y^{2} = -6x + 9 \Longrightarrow 6x = 9 - y^{2} \Longrightarrow x = 1,5 - \dfrac{y^{2}}{6}$

Найдем абсциссу пересечения графиков $y^{2} = 10x + 25$ и $y^{2} = -6x + 9$

$10x + 25 = -6x + 9$

$16x = -16|:16$

$x = -1$

------------------------------------

$y^{2} = 10 \cdot (-1) + 25 = -10 + 25 = 15$

$y_{1,2} = \pm \sqrt{15}$

Границы интегрирования:

$a = -\sqrt{15}$

$b = \sqrt{15}$

$\displaystyle S = \iint_{G} \, dxdy = \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \, dy \int\limits^{1,5 - \frac{y^{2}}{6} }_{0,1y^{2} -2,5} \, dx = \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg(x \bigg|_{0,1y^{2} -2,5}^{ 1,5 - \frac{y^{2}}{6} } \bigg) \, dy =$

$= \displaystyle \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg( \bigg (1,5 - \frac{y^{2}}{6} \bigg) - \bigg ( 0,1y^{2} -2,5 \bigg) \bigg) \, dy = \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg( 1,5 - \frac{y^{2}}{6} - 0,1y^{2} +2,5 \bigg) \, dy =$

$= \displaystyle \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg( 4 - \frac{y^{2}}{6} - \frac{y^{2} }{10} \bigg) \, dy = \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg( 4 - \frac{4y^{2}}{15} \bigg) \, dy = 2\int\limits^{\sqrt{15} }_{0 } \bigg( 4 - \frac{4y^{2}}{15} \bigg) \, dy =$

$\displaystyle = 8 \Bigg( \bigg(y - \frac{y^{3}}{3 \cdot 15} \bigg) \bigg |_{0}^{\sqrt{15} } \Bigg) = 8\Bigg( \sqrt{15} - \frac{(\sqrt{15}) ^{3}}{45} \Bigg) = 8\Bigg( \sqrt{15} - \frac{15\sqrt{15} }{45} \Bigg) =$

$\displaystyle = 8\sqrt{15} \Bigg(1 - \frac{1}{3} \Bigg) = 8\sqrt{15} \Bigg( \frac{3 -1}{3} \Bigg) = \frac{16\sqrt{15} }{3}$ квадратных единиц.