Question

Стороны равнобедренной трапеции касаются окружности с центром в точке О. Основания трапеции равны 4 см и 16 см. Из трапеции случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что она не принадлежит кругу, ограниченному данной окружностью.​

Answer 1

Ответ:

вероятность того, что точка не принадлежит кругу, ограниченному данной окружностью, равна 1 - π / 5.

Пошаговое объяснение:

Дано:

ABCD - трапеция

AB = CD

BC = 4

AD = 16

вписанная в трапецию окружность (центр в т. О)

Найти: вер-ть, что случайным образом выбранная из трапеции точка находится вне окружности.

Решение:

• Чтобы найти искомую вероятность, надо площадь, куда должна попасть точка (желтого цвета на чертеже), разделить на площадь трапеции.

• Найдем эти площади:

(I) Площадь трапеции

1. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то ее средняя линия равна ее боковой стороне.
2. Средняя линия: (BC + AD) / 2 = (4 + 16) / 2 = 10.
3. => AB = CD = 10.
4. Опустим два перпендикуляра BH1 и ВН2 на нижнее основание.
5. Тогда Н1BCH2 - прямоугольник, поэтому Н1Н2 = ВС = 4.
6. Т.к. трапеция равнобокая, АН1 = Н2D = (AD - H1H2) / 2 = (16 - 4) / 2 = 6.
7. Рассмотрим треугольник АВН1: прямоугольный, АВ = 10, АН1 = 6 => BH1 = 8 (пифагорова тройка).
8. ВН1 - высота (по построению).
9. S(ABCD) = ((BC + AD) / 2) * BH1 = 10 * 8 = 80.

(II) Площадь желтой области

1. Эту площадь можно найти, если вычесть площадь круга из площади трапеции.
2. Если в трапецию вписана окружность, то ее диаметр будет равен высоте трапеции.
3. => d = BH1 = 8.
4. => r = d / 2 = 4.
5. Площадь круга равна: S(кр.) = π*$r^{2}$ = 4*4*π = 16π.
6. Тогда площадь искомой области равна: S(обл.) = S(ABCD) - S(кр.) = 80 - 16π.

• Найдем вероятность:

p = S(обл.) / S(ABCD) = (80 - 16π) / 80 = 1 - π / 5.

Итого, ответ: 1 - π / 5.

#SPJ1