Question

1. Стороны равнобедренной трапеции касаются окружности с центром в точке О. Основания
трапеции равны 4 см и 16 см. Из трапеции случайным образом выбирается точка. Найдите
вероятность того, что она не принадлежит кругу, ограниченному данной окружностью.

Answer 1

Ответ:

Вероятность того, что точка не принадлежит кругу, ограниченному данной окружностью равна (1 - π/5)

Объяснение:

По определению геометрической вероятности:

P(A) = S₁ / S, где S₁ ⊂ S;

Таким образом определяется вероятность, того что точка попадет в область S₁.

В данном случае S₁ = S - Sₓ, где Sₓ - площадь вписанной окружности, то есть для данной задачи P(A) = (S - Sₓ) / S

Где:

• S - площадь трапеции
• Sₓ - площадь вписанной окружности
• A - событие при котором точка не принадлежит кругу

Дано: ABCD - трапеция, AB = CD, BC = 4 см, AD = 16 см, r - радиус вписанной окружности

Найти: S,  Sₓ - ?

Решение:

По теореме если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма противоположных равна, тогда:

AB + CD = BC + AD

2AB = BC + AD ⇒ AB = 0,5 * (BC + AD) = 0,5 * (4 + 16) = 0,5 * 20 = 10 см.

Из точки B проведем высоту трапеции в точку K, то есть BK ⊥ AD.

По свойствам равнобедренной трапеции:

AK = 0,5 * (AD - BC) = 0,5 * (16 - 4) = 0,5 * 12 = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный (по построению BK ⊥ AD)

треугольник ΔBAK. По теореме Пифагора:

BK = √(AB² - AK²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √(64) = 8 см.  

По свойствам равнобедренной трапеции описанной около окружности, её высота равна половине радиусу, тогда:

r = BK : 2 = 8 : 2 = 4 см.

По формуле площади круга:

Sₓ = πr² = π · 4² = 16π см².

По формуле трапеции:

S = 0,5BK * (AD + BC) = 0,5 * 8 * (16 + 4) = 0,5 * 8 * 20 = 80 см²

---------------------------------------------------------------------------------------------

Вероятность события A:

P(A) = (80 см² - 16π) / 80 см² = (1 - π/5)

#SPJ1