Question

Для функції знайти проміжки зростання і спадання, та екстремуми функції y = 3x² - 4x³
​

Answer 1

Ответ:

Экстремумы - $0$ и $\frac12$

Убывает на $(-\infty;0)$ и $(\frac12;+\infty)$,

Возрастает на $(0;\frac12)$

Пошаговое объяснение:

Для того, чтобы найти промежутки возрастания/убывания и экстремумы функции $f(x)$, необходимо найти производрую $f'(x)$ и посмотреть на ее знаки. Там, где производная больше 0, функция возрастает, там где меньше 0, убывает, а там, где равняется 0 - экстремум.

Найдем производную функции

$f(x)=3x^2-4x^3$

$f'(x)=\big(3x^2-4x^3\big)'=\big(3x^2\big)'-\big(4x^3\big)'=6x-12x^2$

Использована формула $\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$

Приравняем производную к 0. Так мы найдем экстремумы

$f'(x)=0$

$\displaystyle 6x-12x^2=0\big.\\x-2x^2=0\big.\\\left [ {{x=0} \atop {x=\dfrac12}} \right.$

Экстремумы в точках $0$ и $\frac12$

Расставим знаки производной

$~~~-~~~~~~~+~~~~~~~-\\\begin{picture}(120,5)\vector(1,){120}\end{picture}~~x\\~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~~\frac12$

Получаем, что функция на промежутке $(-\infty;0)$ убывает, на промежутке $(0;\frac12)$ возрастает, и на промежутке $(\frac12;+\infty)$ убывает.