Question

Заранее благодарю за помощь.​

Answer 1

Ответ:

$-1.5$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^1_0\bigg(x-\dfrac{5}{\sqrt{5x+4}}\bigg)dx$

Перед нами страшный ингеграл. Представим его в разности суммы двух  интегралов.

$=~\displaystyle \int\limits^1_0x\,dx - \int\limits^1_0\dfrac{5}{\sqrt{5x+4}}\,dx$

Первый интеграл берется легко

$\displaystyle \int\limits^1_0x\,dx=\dfrac{x^2}2~\bigg|\limits^1_0=\dfrac{1^2}2-0=\dfrac12$

Второй интеграл чуть посложнее. Представим числитель как производную

$\displaystyle \int\limits^1_0\dfrac{5}{\sqrt{5x+4}}\,dx=\int\limits^1_0\dfrac{(5x+4)'}{\sqrt{5x+4}}\,dx$

Затем внесем эту производную под дифференциал. $u'(x)\,dx=du$

$=~\displaystyle \int\limits^1_0\dfrac{1}{\sqrt{5x+4}}\,d\big(5x+4\big)$

Можем сделать замену $t=5x+4$

 $=~\displaystyle \int\limits^1_0\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,dt=\int\limits^1_0t^{-\frac12}\,dt$

Интегрируем как степенную функцию

$=~\displaystyle \int\limits^1_0t^{-\frac12}\,dt=\dfrac{t^{-\frac12+1}}{-\frac12+1}~\bigg|\limits^1_0=2t^\frac12~\bigg|\limits^1_0=2\sqrt{t}~\bigg|\limits^1_0=2\sqrt{5x+4}~\bigg|\limits^1_0=2\sqrt{5+4}-2\sqrt{4}=\Bigg.2\cdot3-4=6-4=2$

Теперь можем вернуться к нашему исходному интегралу

$\dfrac12-2=-1.5$

Это ответ!