Question

интегралы 2) 40 баллов

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Ответ:

$1) ~~\dfrac13x^3\ln x-\dfrac19x^3+C$

$2)~~x\,\mathrm{arctg}\,x-\dfrac12\ln(x^2+1)+C$

Пошаговое объяснение:

$1)~~\displaystyle \int x^2\ln x\,dx$

Вспомним формулу интегрирования по частям $\int u\,dv=uv-\int v\,du$

Пусть $u=\ln x$, $v=\frac{1}{3}x^3$

$=~\displaystyle \dfrac13x^3\ln x-\dfrac13\int x^2\,dx=\dfrac13x^3\ln x-\dfrac19x^3+C$

$2)~~\displaystyle \int\mathrm{arctg}\,x\,dx$

Снова используем формулу интегрирвоания по частям. В этот раз

$u=\mathrm{arctg}\,x,~~v=x$

$\displaystyle =~x\,\mathrm{arctg}\,x-\int\dfrac{x}{x^2+1}\,dx$

Подгоним $x$ под знай диференциала

$\displaystyle =~x\,\mathrm{arctg}\,x-\dfrac12\int\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=x\,\mathrm{arctg}\,x-\dfrac12\int\dfrac{1}{x^2+1}\,d\big(x^2+1\big)=\\=x\,\mathrm{arctg}\,x-\dfrac12\ln(x^2+1)+C$