Большая полуось и эксцентриситет орбиты Меркурия равны 0,387 а.е. и 0,206, а Марса – 1,524 а.е. и 0,093. Найти среднюю скорость этих планет, скорость в перигелии и в афелии.
Ответы
Ответ: Средние скорости: Меркурий ≈ 47,88 км/с; Марс ≈ 24,13 км/с
Скорости в перигелии; Меркурий ≈ 59,00 км/с; Марс ≈ 26,49 км/с.
Скорости в афелии; Меркурий ≈ 38,14 км/с; Марс ≈ 21,98 км/с.
Объяснение:
Дано:
1. Большая полуось орбиты Меркурия А1 = 0,387 а.е. = 0,387*1,496*10^11 м
Эксцентриситет орбиты Меркурия е1 = 0,206
2. Большая полуось орбиты Марса А2 = 1,524 а.е. = 1,524*1,496*10^11 м
Эксцентриситет орбиты Марса е2 = 0,093
Большая полуось орбиты Земли Аз = 1 а.е.
Период обращения Земли вокруг Солнца Тз = 1 год
Масса Солнца Мс = 1,9885*10^30 кг
Гравитационная постоянная G = 6,6743*10^-11 м³/кг*с²
Найти:
Средние орбитальные скорости планет V1 - ? и V2 - ?
Скорости планет в перигелии и в афелии V1п- ? и V1а - ?
V2п - ? и V2а - ?
Вначале по третьему закону Кеплера найдем периоды обращения планет вокруг Солнца. В соответствии с этим законом Тз²/Тп² = Аз³/Ап³, здесь Тп – период обращения планеты вокруг Солнца; Ап – большая полуось орбиты планеты. Из закона Кеплера Тп² = Тз²*Ап³/Аз³. Отсюда Тп = √(Тз²*Ап³/Аз³).
Период обращения Меркурия Т1 = √(Тз²*А1³/Аз³) = √(1²*0,387³/1³) = √0,387³ = 0,24075 года.
В секундах период обращения Меркурия (Т1с) будет равен: Т1с = Т1*365,25*24*60*60 = 0,24075*365,25 * 24*60*60 с
Длина орбиты Меркурия S1= 2π*А1 = 2π*0,387*1,496*10^11 м. Тогда средняя скорость Меркурия по орбите V1 = S1/Т1c = 2π*0,387*1,496*10^11/0,24075*365,25* 24*60*60 ≈ 47879,78 м/с ≈ 47,88 км/с
Период обращения Марса Т2 = √(Тз²*А2³/Аз³) = √(1²*1,524³/1³) = √1,524³ = 1,8814 года
В секундах период обращения Марса (Т2с) будет равен: Т2с = Т2*365,25*24*60*60 = 1,524*365,25*24*60*60
Длина орбиты Марса S2 = 2π*А2 = 2π*1,524*1,496*10^11 м. Тогда средняя скорость Марса по орбите
V2 = S2/Т2c = 2π*1,524*1,496*10^11/1,8814*365,25* 24*60*60 ≈ 24127,44 м/с ≈ 24,13 км/с
Чтобы найти скорости планет в афелии и перигелии надо найти расстояния от планет до Солнца в афелии и перигелии. В общем случае расстояние от планеты до Солнца в афелии Sa = A(1+e), Расстояние в перигелии Sп = A(1- e),
Тогда расстояние до Солнца Меркурия в афелии S1a = А1(1 + е1) = 0,387*1,496*10^11*1,206, в перигелии S1п = А1(1 - е1) = 0,387*1,496*10^11*0,794.
Расстояние Марса от Солнца в афелии S2a = А2(1 + е2) = 1,524*1,496*10^11*1,093, в перигелии
S2п = А2(1 - е2) = 1,524*1,496*10^11*0,907.
Теперь можно найти скорости планет в этих точках орбиты. В общем случае скорость планеты определяется выражением: V = √G*Mс*{(2/S) – (1/A)}
Для Меркурия скорость в афелии V1а = √G*Mс*{(2/S1а) – (1/A1)} подставив в формулу числовые значения параметров, имеем; V1а = √6,6743*10^-11 *1,9885*10^30 *{(2/0,387*1,496*10^11*1,206) – (1/0,387*1,496*10^11)} ≈ 38140 м/с ≈ 38,14 км/с.
Скорость в перигелии V1п = √G*Mс*{(2/S1п) – (1/A1)} подставив в формулу числовые значения параметров, имеем; V1а = √6,6743*10^-11 *1,9885*10^30 *{(2/0,387*1,496*10^11*0,794) – (1/0,387*1,496*10^11)} ≈ 59008 м/с ≈ 59,00 км/с.
Для Марса скорость в афелии V2а = √G*Mс*{(2/S2а) – (1/A2)} подставив в формулу числовые значения параметров, имеем; V1а = √6,6743*10^-11 *1,9885*10^30 *{(2/1,524*1,496*10^11*1,093) – (1/1,524*1,496*10^11)} ≈ 21978,6 м/с ≈ 21,98 км/с.
Скорость в перигелии V2п = √G*Mс*{(2/S2п) – (1/A2)} подставив в формулу числовые значения параметров, имеем; V1а = √6,6743*10^-11 *1,9885*10^30 *{(2/1,524*1,496*10^11*0,907) – (1/1,524*1,496*10^11)} ≈ 26485,8 м/с ≈ 26,49 км/с.