Question

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения. Пожалуйста подробно, с описанием действий

Answer 1

$\sf \displaystyle \left \{ {{1-\sqrt{|y-7|}=\sqrt{3|x|}} \atop {9x^2+y^2=14y-49-2a}} \right.$

Рассмотрим второе уравнение системы.

$\sf \displaystyle 9x^2+(y^2-14y+49)=-2a \\ (3x)^2+(y-7)^2=-2a$

Так как знак числа под квадратом не важен, можем добавить модули.

$\sf \displaystyle (3|x|)^2+(|y-7|)^2=-2a$

Замена:  t = 3|x|, s = |y-7|;  t,s ≥ 0. Возвращаемся к системе.

$\sf \displaystyle \left \{ {{1-\sqrt{s}=\sqrt{t}} \atop {t^2+s^2=-2a}} \right.$

Построим графики в плоскости Ots. Со вторым уравнением все понятно - это четверть окружности с центром в начале координат и переменным радиусом. Разбираемся с первым уравнением. Из разных вариантов его записи можно подцепить следующие факты:

·  1 - √s = √t  ⇒  1 - √s ≥ 0  ⇔  s ∈ [0,1]

·  1 - √t = √s  ⇒  1 - √t ≥ 0  ⇔  t ∈ [0,1]

·  √t + √s = 1  ⇒  график симметричен относительно прямой s = t (от перемены t и s местами, уравнение не меняется)

·  s = (1 - √t)² ≤ 1 - √t ≤ 1 - t (график лежит ниже прямой s = 1 - t)

Еще можно подобрать точки:

·  t = 0  ⇒  s = 1

·  s = 0  ⇒  t = 1

·  s = 1/4  ⇒  t = 1/4

Делаем эскизы графиков (см. картинку). Имеем 5 случаев.

1) Одно решение (1/4, 1/4)  ⇒  обратная замена даст 4 решения

2) Два решения (1, 0), (0, 1)  ⇒  обратная замена даст 4 решения

3) Нет решений

4) Два решения (a, b), (b, a); a≠b, a≠0, b≠0  ⇒  8 решений

5) Нет решений

Для случаев 1) и 2):

$\sf \displaystyle R_1=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{2}}{4} \\ R_2=\sqrt{0^2+1^2}=1$

Осталось перейти к a.

$\sf \displaystyle R=\sqrt{-2a} \\ \\ \sqrt{-2a}=\frac{\sqrt{2}}{4} \ \ \Leftrightarrow \ \ a=-\frac{1}{16} \\ \\ \sqrt{-2a}=1 \ \ \Leftrightarrow \ \ a=-\frac{1}{2}$

Ответ: a = -1/2; a = -1/16.