Question

Задание по МАТ СТАТИСТИКЕ на точечную оценку, очень нужна помощь

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Функция распределения максимума по выборке:

$F_{\max}(x)=P( \max\limits_i\xi_i < x)=P(\xi_1 < x;\ldots;\xi_n < x)=(*)$

$\xi_i$ независимы, так как являются членами выборки, поэтому

$(*)=P(\xi_1 < x)\cdot\ldots \cdot P(\xi_n < x)=F_{\xi_1}\cdot\ldots \cdot F_{\xi_n}=(**)$

$\xi_i$ имеют одинаковое распределение с функцией $F(x)$, поэтому

$(**)=F^n(x)$

Аналогично находится функция распределения минимума по выборке:

$F_{\min}(x)=P( \min\limits_i\xi_i < x)=1-P( \min\limits_i\xi_i \geq x)=1-P(\xi_1 \geq x;\ldots;\xi_n \geq x)=\\ =1-P(\xi_1 \geq x)\cdot \ldots\cdot P(\xi_n \geq x)=1-(1-F_{\xi_1})\cdot \ldots\cdot (1-F_{\xi_n})=1-(1-F(x))^n$ Возвратимся к заданию.

Заметим, что плотность соответствует равномерному распределению на отрезке $[\theta-h;\theta+h]$. Отсюда

1. Функция распределения максимума имеет вид $F_{\max}(x)=\left\{\begin{array}{cl}0,\;&x < \theta-h&\left(\dfrac{x-\theta+h}{2h}\right)^n,&x\in[\theta-h;\theta+h]&1,\;&x > \theta+h\end{array}\right.$.
   Отсюда плотность распределения максимума имеет вид $f_{\max}(x)=\left\{\begin{array}{cl}0,&x\notin[\theta-h;\theta+h]&\dfrac{n}{2h}\cdot \left(\dfrac{x-\theta+h}{2h}\right)^{n-1},&x\in[\theta-h;\theta+h]\end{array}\right.$, а матожидание максимума равно
   $\int\limits_{\theta-h}^{\theta+h}x\cdot \dfrac{n}{2h}\cdot \left(\dfrac{x-\theta+h}{2h}\right)^{n-1}dx=[t=x-\theta+h]=\int\limits_{0}^{2h}(t+\theta-h)\cdot \dfrac{n}{2h}\cdot \left(\dfrac{t}{2h}\right)^{n-1}dt=\\ =\dfrac{n}{(2h)^n}\cdot \int\limits_{0}^{2h} t^{n}dt+(\theta-h)\cdot \dfrac{n}{(2h)^n}\cdot \int\limits_{0}^{2h}t^{n-1}dt=n\cdot \dfrac{2h}{n+1}+(\theta-h)=h+\theta- \dfrac{2h}{n+1}$
2. Функция распределения минимума имеет вид $F_{\min}(x)=\left\{\begin{array}{cl}0,\;&x < \theta-h&1-\left(\dfrac{-x+\theta+h}{2h}\right)^n,&x\in[\theta-h;\theta+h]&1,\;&x > \theta+h\end{array}\right.$.
   Отсюда плотность распределения минимума имеет вид $f_{\min}(x)=\left\{\begin{array}{cl}0,&x\notin[\theta-h;\theta+h]&\dfrac{n}{2h}\cdot \left(\dfrac{-x+\theta+h}{2h}\right)^{n-1},&x\in[\theta-h;\theta+h]\end{array}\right.$, а матожидание минимума равно $\int\limits_{\theta-h}^{\theta+h}x\cdot \dfrac{n}{2h}\cdot \left(\dfrac{-x+\theta+h}{2h}\right)^{n-1}dx=[t=-x+\theta+h]=\\ =\int\limits_{0}^{2h}(-t+\theta+h)\cdot \dfrac{n}{2h}\cdot \left(\dfrac{t}{2h}\right)^{n-1}dt=- \dfrac{n\cdot (2h)}{n+1}+(\theta+h)=\theta-h+\dfrac{2h}{n+1}$

Но тогда $E\widehat{\theta_2}=\dfrac{1}{2}\cdot \left(h+\theta- \dfrac{2h}{n+1}+\theta-h+ \dfrac{2h}{n+1}\right)=\theta$, что и означает, что оценка несмещенная.

Далее проверим состоятельность.

Пусть $\varepsilon > 0$ - достаточно малая величина. Заметим, что
$P( |\max\limits_i\xi_i-(\theta+h)| < \varepsilon)=P\left( (\theta+h)-\varepsilon < \max\limits_i\xi_i < (\theta+h)+\varepsilon\right)=\\ =[\xi_i\leq (\theta+h)\; \forall i]=1-P\left( \max\limits_i\xi_i\leq (\theta+h)-\varepsilon\right)=1-F_{\max}((\theta+h)-\varepsilon)=\\=1- \left(\dfrac{2h-\varepsilon}{2h}\right)^n=1- \left(1-\dfrac{\varepsilon}{2h}\right)^n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 1$.
А это означает, что $\max\limits_i\xi_i \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} \theta+h$.
Аналогично показывается сходимость по вероятности к нижней границе отрезка для минимума по выборке:

$P( |\min\limits_i\xi_i-(\theta-h)| < \varepsilon)=P\left( (\theta-h)-\varepsilon < \min\limits_i\xi_i < (\theta-h)+\varepsilon\right)=\\ =[\xi_i\geq (\theta-h)\; \forall i]=P\left( \min\limits_i\xi_i < (\theta-h)+\varepsilon\right)=F_{\min}((\theta-h)+\varepsilon)=\\=1-\left(\dfrac{2h-\varepsilon}{2h}\right)^n=1- \left(1-\dfrac{\varepsilon}{2h}\right)^n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 1$,
что и означает $\min\limits_i\xi_i \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} \theta-h$.
Но тогда, по свойствам сходимости по вероятности,

$\widehat{\theta_2}=\dfrac{1}{2}\cdot \left( \min\limits_i\xi_i+\max\limits_i\xi_i \right)\stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow}\dfrac{1}{2}\cdot \left(\theta+h+\theta-h \right)=\theta$ - то есть оценка состоятельная.
Ч.т.д.