Question

282. Доказать с помощью неравенства между средним арифметичес- ким и средним геометрическим, что для любых положительных чисела и в выполняется неравенство
$\sqrt{ \frac{a}{b} } + \sqrt{ \frac{b}{a} } \geqslant 2$
пожалуйста помогите очень срочно мне надо пожалуйста!!!!!!​

Answer 1

$\sf \displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}} \geq 2 \ \ \ \ \ |\cdot\sqrt{ab} \\ \\ \\ \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} \geq 2\sqrt{ab} \\ \\ |a|+|b| \geq 2\sqrt{ab}$

a и b положительны по условию. Можно убрать модули.

$\sf \displaystyle a+b \geq2\sqrt{ab} \\ \\ \frac{a+b}{2} \geq\sqrt{ab}$

Пришли к неравенству между средними. Чтд.