Question

В треугольнике АВС с тупым углом при вершине А проведены высоты ВМ и CN.
а) Докажите, что угол ANM = угол АСВ.
б) Найдите радиусы окружностей, описанных около треугольников BNC и AMN, если cos BAC = - 1/3, а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 6

Answer 1

В ΔАВС с тупым углом при вершине А проведены высоты ВМ и CN. А) Докажите, что ∠ANM =∠ АСВ;  Б) Найдите радиусы окружностей, описанных около  ΔBNC и ΔAMN, если cos∠BAC = - 1/3, а радиус окружности, описанной около ΔАВС, равен 6.

Объяснение:

А) Прямые углы ∠ВМС=∠ВNC=90° опираются на ВС ⇒ около четырехугольника МВСN  можно описать окружность.

Вписанные углы ∠ВСМ и ∠ВNC равны тк опираются на одну дугу ВМ.

Б)Ищем радиус окружности, описанной около  ΔBNC.

Тк ΔВNС-прямоугольный , то радиус описанной окружности R₁=1/2*BC. Найдем ВС из ΔАВС по т. синусов ВС:sin∠BAC=2R .

sin∠BAC=√(1-cos²∠BAC)= $\sqrt{(1-(-\frac{1}{3} )^{2} } )$ =$\frac{2\sqrt{2} }{3}$ .  

$\frac{BC}{\frac{2\sqrt{2} }{3} } =2*6$  ⇒  BC=8√2 (ед) ⇒ R₁ =4√2 (ед).

Ищем радиус окружности, описанной около  ΔAMN.

а)По т. синусов из ΔAMN  имеем МА:sin∠ANM=2R₂ .

В  ΔАВМ , $cosBAM=\frac{MA}{AB}$  .Но сos∠BAM=cos(180-∠BAC)=-cos∠BAC=1/3 .

  $\frac{1}{3} =\frac{MA}{AB}$ .

б)ΔAMN~ΔABC по двум углам : ∠МАN =∠ВАС как вертикальные , и ∠АNC и ∠ВСА  как вписанные , опирающиеся на одну дугу ⇒ все сходственные элемены пропорциональны. И  $\frac{MA}{AB}=\frac{1}{3} =k$ .

Тогда  $\frac{R_2}{R_1} =\frac{1}{3}$  ⇒  $R_2=\frac{1}{3} *R_1$  ,  $R_2=\frac{4\sqrt{2} }{3}$ (ед).