Question

Дослідити функцію та побудувати її графік:
y=x⁴-4x²

Answer 1

Ответ:

1. ОДЗ: х ∈ R.

2. функция четная.

3.  у = 0 ⇒ х = 0; х = 2; х = -2.

х = 0 ⇒ у = 0

4. Функция непрерывна, асимптот нет

5. Функция возрастает на промежутках: [-√2; 0]; [√2; +∞).

Функция убывает на промежутках: (-∞; -√2]; [0; √2].

x min = ±√2; x max = 0.

6. Вогнута на промежутках: $\left(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}}\right];\;\;\;\left[\sqrt{\frac{2}{3}};\;+\infty\right)$

Выпукла на промежутках: $\left[-\sqrt{\frac{2}{3}};\;\;\;\sqrt{\frac{2}{3}}\right];$

х перегиба =  $б\sqrt{\frac{2}{3}};$

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

                          у = х⁴ - 4х²

1. ОДЗ: х ∈ R.

2. Четность, нечетность.

Если у(-х) = у(х) - функция четная, если у(-х) = -у(х) - функция нечетная.

у(-х) = (-х)⁴ - 4(-х)² = х⁴ - 4х²

у(-х) = у(х) ⇒ функция четная.

3. Пересечение с осями координат.

1) с осью 0х ⇒ у = 0

х⁴ - 4х² = 0

х² (х - 2)(х + 2) = 0

х = 0; х = 2; х = -2.

2) с осью 0у ⇒ х = 0

у = 0.

4. Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную:

y' = 4x³ - 4 · 2x = 4x (x² - 2) = 4x(x - √2)(x + √2)

Приравняем производную к нулю и найдем корни.

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на  промежутках.

• Если ПЛЮС, то функция возрастает; МИНУС - убывает.

4x(x - √2)(x + √2) = 0

х = 0; х = √2; х = -√2

См. вложение.

Функция возрастает на промежутках: [-√2; 0]; [√2; +∞).

Функция убывает на промежутках: (-∞; -√2]; [0; √2].

• Если производная меняет знак с ПЛЮСА на МИНУС, то в этой точке - max, если с МИНУСА на ПЛЮС - min.

⇒ x min = ±√2; x max = 0.

y(±√2) = -4; y(0) = 0.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка:

y'' = 4 · 3x² - 8 = 4(3x² - 2)

Приравняем вторую производную к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и найдем знаки на промежутках.

• Если ПЛЮС - вогнута; МИНУС - выпукла.

3х² - 2 = 0

$\displaystyle (\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x+\sqrt{2} )=0\\ \\ x=\sqrt{\frac{2}{3} };\;\;\;\;\; x=-\sqrt{\frac{2}{3} }$

См. вложение.

Вогнута на промежутках: $\left(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}}\right];\;\;\;\left[\sqrt{\frac{2}{3}};\;+\infty\right)$

Выпукла на промежутках: $\left[-\sqrt{\frac{2}{3}};\;\;\;\sqrt{\frac{2}{3}}\right];$

х перегиба =  $б\sqrt{\frac{2}{3}};$

у перегиба = $-2\frac{2}{9}$

Строим график.

#SPJ1