Question

Решите дифференциальное уравнение
пж

Answer 1

Ответ.

$\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{2y}{x+1}=(x+1)^2$  

Это линейное дифф. ур-е 1 порядка. Решаем с помощью замены.

$y'-\dfrac{2}{x+1}\cdot y=(x+1)^2\ \ ,\qquad y=uv\ \ ,\ \ u'=u'v =uv'\\\\\\u'v+uv'-\dfrac{2}{x+1}\cdot uv=(x+1)^2\ \ ,\ \ \ u'v+u\cdot (v'-\dfrac{2}{x+1})=(x+1)^2\ \ ,\\\\\\\displaystyle a)\ \ v'-\dfrac{2}{x+1}=0\ \ ,\ \ \dfrac{dv}{dx}=\dfrac{2}{x+1}\ \ ,\ \ \int \dfrac{dv}{v}=\int \dfrac{2\, dx}{x+1}\ \ ,\\\\\\lnv=2\, ln(x+1)\ \ \Rightarrow \ \ \ v=(x+1)^2\\\\\\b)\ \ u'\cdot (x+1)^2=(x+1)^2\ \ ,\ \ \dfrac{du}{dx}=1\ \ ,\ \ \int du=\int dx\ \ ,\ \ u=x+C\\\\c)\ \ y=(x+C)(x+1)^2$