Question

Задача с мнимыми числами $(\frac{1+\sqrt{3}i}{2})^{2022} =?$

Answer 1

Решать можно миллионом способов.

Сперва перепишем в тригонометрическую форму.

$\frac{1+i\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3}{2} = cos(\frac{\pi}{3}) + i sin(\frac{\pi}{3})$

Тут видно что модуль числа равен 1, аргумент - $\frac{\pi }{3}$

Дальше можно использовать формулу Муавра.

$(\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^{2022} = (cos(\frac{\pi}{3}) + i sin(\frac{\pi}{3}))^{2022} = cos(\frac{2022\pi}{3}) + i sin(\frac{2022\pi}{3}) = \\ = cos(674\pi) + i sin(674\pi) = cos(337*2\pi) + i sin(337*2\pi)= 1$

Можно и через показательную форму.

$(\frac{1+i\sqrt{3}}{2} )^{2022} = (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3}{2})^{2022} = e^{2022i\frac{\pi}{3} } = e^{i*337*2\pi}=e^{i2\pi} = 1$

Оба способа отображают геометрическую суть комплексного числа.

Поскольку модуль числа равен 1, возведение в степень - это лишь поворот числа на аргумент столько раз, сколько указано в степени.

Так что ответ - это единичный вектор (0,1) , который повернут на 60 градусов 2022 раза.

2022 \ 6 = 337. Поскольку все делится нацело - то при этих 2022 поворотах мы 337 раз вернемся на место в вектор (0, 1) и там же и закончим. Вектор (0,1) отвечает комплексному числу 1+0і = 1