Question

Дано уравнение 3x^2-18x+3=0. Не решая уравнения, вычислить ab^2-a^2b
где a, b - корни уравнения.

Answer 1

Ответ:

$4\sqrt{2}$

Пошаговое объяснение:

Теорема Виета. Если в квадратном уравнении $ax^2+bx+c=0$ корни $x_1$ и $x_2$, то верны равенства

$\displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}} \atop {x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}} \right.$

Для нашего уравнения

$3x^2-18x+3=0$, $a$ и $b$ - корни. Тогда

$a+b=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-18}{3}=6$

$a\cdot b=\dfrac{c}{a}=\dfrac33=1$

Преобразуем выражение, которое нам необходимо вычислить

$ab^2-a^2b=ab\cdot(a-b)$

Давайте посчитаем чему равно $(a+b)^2$

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

Мы можем выразить $a^2+b^2$

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

Затем значение этого выражения использовать в $(a-b)^2$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=(a+b)^2-4ab$

Тогда можно выразить $(a-b)$

$a-b=\sqrt{(a+b)^2-4ab}$

Найдем наконец значение нашего выражения

$ab^2-a^2b=ab\cdot(a-b)=ab\cdot\sqrt{(a+b)^2-4ab}=1\cdot\sqrt{6^2-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$