Question

Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов:
фото

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)

$a)\ \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!*(2x)^n}{(2n)!}= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!*(2x)^n}{(2n-1)!*2n}= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(2x)^n}{2n}.\\u_n=\frac{(2x)^n}{2n}\ \ \ \ \ u_{n+1}=\frac{(2x)^{n+1}}{2*(n+1)} .$

Применим признак Даламбера:

$\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{u_{n+1}}{u_{n}} |=\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{(2x)^{n+1}*(2n)}{2*(n+1)*(2x)^n}|=\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{(2x)*(2x)^n*(2n)}{2*(n+1)*(2x)^n} |=\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{(2x)*(2n)}{2n+2} |=$

$=|4x|*\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{n}{2n+2} |=|4x|*\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{\frac{n}{n} }{\frac{2n}{n} +\frac{2}{n} } |=|4x|*\frac{1}{2}=|2x| < 1\ \ \ \ \Rightarrow\\ -1 < 2x < 1\ |:2\\-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}\ \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ x\in(-\frac{1}{2};\frac{1}{2} ) .$

Проведём дополнительные исследования в граничных точках:

$x=\frac{1}{2} \\\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(2*\frac{1}{2})^n }{2n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1^n}{2n}= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}.\ \ \ \ \ \ \Rightarrow$

Ряд расходится.

$x=-\frac{1}{2} .\\\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(2*(-\frac{1}{2}))^n }{2n}= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{2n} .$

Применим достаточный признак сходимости Лейбница:

$1)\ \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2x} =0.\\2)\ \frac{1}{2n} > \frac{1}{2n+1} > \frac{1}{2n+2} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow$

Ряд условно сходится.

Ответ: x∈[-1/2;1/2),    R=1/2.