Question

log^2 1/2(x-3)+log1/2(x-3)=2

Answer 1

Для начала найдём область допустим значений для этого выражения:

x - 3 > 0

x > 3

Теперь решим уравнение методом замены переменной:

Пусть $log_{\frac{1}{2} } (x-3) = t$, тогда:

$t^{2} + t = 2;\\t^{2} +t -2 = 0$;

Теперь найдём корни:

1 способ (дискриминант):

D = $b^{2} - 4 * a *c =$ 1 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

x1 = $\frac{-b + \sqrt{D} }{2 a}$ = $\frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

x2 = $\frac{-b - \sqrt{D} }{2 a} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

2 способ (теорема Виета)

x1 + x2 = - b = -1

x1 * x2 = c = -2

Подбором получаем, что корни 1 и -2

Вернёмся к замене:

1) $log_{\frac{1}{2} } (x-3) = 1$ Теперь приводим правую и левую часть к логарифмам с одинаковыми основаниями. В правой части воспользуемся тем, что 1 = $log_{a} a$:

$log_{\frac{1}{2} } (x-3) = log_{\frac{1}{2} }\frac{1}{2}$. Теперь опускаем логарифмы и решаем обычное линейное уравнение:

x - 3 = $\frac{1}{2}$;

x = 3 + 0,5 = 3,5

2) Решаем таким же методом:

$log_{\frac{1}{2} } (x-3) = -2;\\log_{\frac{1}{2} } (x-3) = -2 * 1;\\log_{\frac{1}{2} } (x-3) = -2 * log_{\frac{1}{2} } \frac{1}{2} ;\\log_{\frac{1}{2} } (x-3) = log_{\frac{1}{2} } (\frac{1}{2})^{-2} ;\\log_{\frac{1}{2} } (x-3) = log_{\frac{1}{2} } 4;$

x - 3 = 4;

x = 7

В данном уравнении оба корня вошли в ОДЗ и поэтому эти корни входят оба в ответ.

Ответ: 3,5 и 7