Question

В произвольном остроугольном треугольнике КРТ высоты KD и PS пересекаются в точке Q. Через точки P, S, T проведена окружность, пересекающая KD в точке N, причём ND = 30, кQ = 11.
Найдите KD
найдите KN
Найдите NQ​

Answer 1

В прямоугольном △PST гипотенуза PT является диаметром описанной окружности. Диаметр PT перпендикулярен хорде NA, следовательно делит ее пополам, ND=DA=30.

SQDT - вписанный (противоположные углы прямые).

Произведение секущей на ее внешнюю часть постоянно для данной точки и данной окружности.

KN*KA=KS*KT (синяя окружность)

KQ*KD=KS*KT (красная окружность)

=> KN*KA=KQ*KD

KN=x

x(x+60) =11(x+30) => x^2 +49x -330 =0

x = √(49^2 +4*330) -49 /2 =6 (x>0)

KN=6, NQ=5, KD=36