Question

Яка з наведених точок не є точкою екстремуму функції y=3x^5-20х^3+1?
А) 0
Б) 2
В) 2 і -2
Г) -5​

Answer 1

Какая из указанных точек не является точкой экстремума функции y=3x^5-20х^3+1:

А) 0; Б) 2; В) 2 і -2; Г) -5​.

Ответ:

Точки экстремума функции - x=2 и x=(-2).

А) 0 являетеся критической точкой, но это не точка экстремума;

Г) -5 не точка экстремума функции.

Объяснение:

Находим область определения, производную функции и критические точки.

$\Large \boldsymbol {} y=3x^5-20x^3+1:\\\\x\in(-\infty;+\infty)\\\\y'=3*5x^{5-1} -20*3x^{3-1} +0=15x^4-60x^2\\\\15x^4-60x^2=0\:\Big|:15\\\\x^4-4x^2=0\\\\x^2(x^2-4)=0\\\\x^2=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x^2-4=0\\\\ \boxed{x_1=0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{x_2=2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{x_3=-2}$

x=0, x=2 и х=(-2) - критические точки. Разбиваем этими числами координатную прямую на промежутки.

$\Large \boldsymbol {} ++++\boxed{-2}----\boxed{0}----\boxed{2}++++$

Так как при переходе через точку 0 функция не меняет знак - 0 не является точкой экстремума функции.

Точки экстремума этой функции:

$\Large \boldsymbol {} x_{min}=2 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_{max}=-2$