Question

Решите показательное уравнение

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x=2-2log_2(3)$

Объяснение:

$\displaystyle 4^{-x+2}=2^{5-x}+9$
$\displaystyle 2^{2(2-x)}=\frac{2^5}{2^x} +9$
$\displaystyle 2^{4-2x}=\frac{32}{2^x} +9$
$\displaystyle \frac{2^4}{2^{2x}} =\frac{32}{2^x} +9$
$\displaystyle \frac{16}{2^{2x}} -\frac{32}{2^x} -9=0$
Пусть 2^x = t, t>0, тогда
$\displaystyle \frac{16}{t^{2}} -\frac{32}{t} -9=0|*t^2$
$\displaystyle -9t^2-32t+16=0|:(-1)$
$\displaystyle 9t^2+32t-16=0$
$\displaystyle D=32^2-4*9*(-16) = 1024+576 = 1600 = 40^2$
t₁₂ = (-32±40)/(2*9)
t₁ = (-32+40)/(2*9)=8/18 = 4/9
t₂ = (-32-40)/(2*9)<0
Вернёмся к замене
Если t=4/9, то 2^x = 4/9 ⇔ $\displaystyle x=log_2(\frac{4}{9} )$
$\displaystyle x=log_2(4)-log_2(9)$
$\displaystyle x=log_2(2^2)-log_2(3^2)$
$\displaystyle x=2-2log_2(3)$