Question

Число n имеет ровно шесть делителей (включая 1 и себя). Их расположили в порядке возрастания. Оказалось, что третий делитель в 5 раз больше второго, а четвёртый на 12 больше третьего. Чему равно n?

Answer 1

Ответ: 925

Пошаговое объяснение:

Предположим, что $n$ имеет более двух простых делителей($3$ и более), но тогда из комбинаторный соображений, количество его делителей будет не менее чем $2^3 = 8$, что нас не устраивает.

Рассмотрим теперь самый тривиальный вариант, у данного числа ровно один простой делитель, но тогда само данное число

$n = p ^{5}$, где $p$ - простое число. Тут расстановка делителей в порядке возрастания трудности не представляет, ибо данное число является простым натуральным, то есть:

$1 < p < p^2 < p^3 < p^4 < p^5$

Откуда по условию:

$p^2 = 5p\\p = 5\\p^3 - p^2 = 100\neq 12$

Как видим, этот вариант нам не подходит.

Остается рассмотреть основной вариант, когда данное число имеет два простых делителя, тогда $6$ делителей у данного числа будет только если оно представимо в виде: $n = p_{1} *p_{2} ^2$ (тут $p_{1},p_{2}$ простые числа), действительно, тогда из комбинаторных соображений число его делителей будет равно: $(1+1)*(2+1) = 6$, также стоит заметить, что $6$ можно представить единственным способом в виде произведения не равных единице натуральных множителей: $6 = 2*3$

Распишем все возможные делители данного числа $n$ (не в порядке возрастания):

$1,p_{1},p_{2},p_{2}^2,p_{1}* p_{2},p_{1}*p_{2}^2$

По условию третий делитель в $5$ раз больше второго, то есть третий делитель не является простым, причем $1$ разумеется первый делитель, а $p_{1}*p_{2}^2$ последний делитель.

Тогда для третьего по порядку делителя остается $2$ варианта: $p_{1}*p_{2}, p_{2}^2$

Вторым  делителем может быть одно из чисел (в зависимости от того какое из них больше): $p_{1},p_{2}$.  Пусть $p_{1} < p_{2}$, тогда $5$-й по счету делитель будет $p_{2}^2$, но тогда $3$-й по счету делитель будет $p_{1} *p_{2}$,  $2$-м по счету будет $p_{1}$, наконец, $4$-м делителем должно быть число $p_{2}$, что невозможно, ибо $p_{2} < p_{1}*p_{2}$. Как видим, такой вариант невозможен, тогда рассматриваем: $p_{1} > p_{2}$.

Тут $5$-й делитель это $p_{1} *p_{2}$, тогда $3$-м по счету должен быть делитель $p_{2} ^2$, вторым же по счету будет делитель $p_{2}$, наконец, $4$-м делителем будет $p_{1}$.

Откуда получаем:

$p_{2}^2 = 5p_{2}\\p_{2}=5\\p_{1}-p_{2}^2 = 12\\p_{1} = 12 + 5^2 = 37$

Как видим, данное число единственное и равно:

$n = 37*5^2 = 925$