Пятиугольник АВСДЕ вписан в окружность. Известно ,что АВ=АЕ. Отрезок ВЕ пересекает Ас в точке М, а отрезок4 АД в точке Т.1Докажите ,что точки СДМН лежат на одной окружности 2.Точка О - центр описанной вокруг треугольника СМД окружности. Найдите радиус этой окружности ,если АО равен 12,АВ=4
Ответы
Ответ:
1. Точки С, D, М, T лежат на одной окружности.
2. Радиус окружности, описанной около треугольника СМD равен 8√2 ед.
Пошаговое объяснение:
Пятиугольник АВСДЕ вписан в окружность. Известно ,что АB = АЕ. Отрезок ВЕ пересекает АC в точке М, а отрезок АD в точке Т.
1. Докажите ,что точки СDМT лежат на одной окружности;
2. Точка О - центр описанной около треугольника СМD окружности. Найдите радиус этой окружности, если АО равен 12, АВ = 4.
Дано: АВСДЕ - пятиугольник;
Окр.I - описана около АВСДЕ;
АВ = АЕ;
ВЕ ∩ АЕ = М; ВЕ ∩ AD = T.
Окр.О - описана около ΔСМD.
AO = 12; AB = 4.
Доказать: что точки С, D, М, T лежат на одной окружности.
Найти: R - радиус Окр.О
1. Доказательство:
- Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.
Докажем, что в четырехугольнике СDTМ:
∠АСD + ∠MTD = 180°.
АВ = АЕ (условие)
- Равные хорды стягивают равные дуги.
⇒ ◡АВ = ◡АЕ
- Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
⇒
- Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами.
⇒
Сложим эти углы:
Заменим ◡АЕ равной ей дугой ◡АВ:
Заметим, что сумма дуг в числителе составляют окружность.
- Градусная мера окружности равна 360°.
⇒
- Сумма углов четырехугольника равна 360°.
⇒ ∠ТМС + ∠СDT = 360° - (∠АCD + ∠BTD) = 180°
В четырехугольнике СDМT сумма противоположных углов равна 180°.
Значит около четырехугольника СDМT можно описать окружность.
⇒ Точки С, D, М, T лежат на одной окружности.
2. Решение:
Опишем окружность с центром О около треугольника СМD.
Рассмотрим ΔАТЕ и ΔAED.
∠EAD - общий;
◡АВ = ◡АЕ (п.1)
⇒ ∠АЕВ = ∠ADE (вписанные, опираются на равные дуги)
ΔАТЕ ~ ΔAЕD (по двум углам)
Запишем отношения сходственных сторон:
или
АЕ² = AT · AD
АЕ = АВ = 4 (условие)
AT · AD = 16
AР и AD - секущие Окр.О.
- Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.
⇒ АK · АP = AT · AD = 16
Пусть радиус Окр.О равен R.
Тогда АK = АО - R; AP = AO + R;
AO = 12
(12 - R)(12 + R) = 16
144 - R² = 16
R² = 128
R = √128
R = 8√2
Радиус окружности, описанной около треугольника СМD равен 8√2 ед.
#SPJ1