Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Пределы:

1) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x} }{x - \sqrt{x} } = -1 } }$

2) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} =0,25 } }$

3) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \sqrt{x} }{1 - \sqrt{x} } = -3} }$

Примечание:

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ если $\exists f(a)$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Если:

1) $\lim_{x \to a} f(x) =\lim_{x \to a} g(x) = 0$ или $\lim_{x \to a} f(x) =\lim_{x \to a} g(x) = \infty$

2) функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в окрестности точки $x =a$

и в окрестности этой точки $g'(x) \neq 0$

3) $\exists \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

По правилу Лопиталя:

$\boxed{ \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \bigg [ \dfrac{0}{0} \bigg ] = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} }$ или $\boxed{ \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \bigg [ \dfrac{\infty}{\infty} \bigg ] = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} }$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Следствие из предела произведения:

$\lim_{x \to a} (k \cdot f(x)) = k \lim_{x \to a} f(x)$

Объяснение:

39.9

1)$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x} }{x - \sqrt{x} } = \bigg [\frac{0}{0} \bigg] = \lim_{x \to 0} \frac{ (x + \sqrt{x})' }{ (x - \sqrt{x})' } = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \dfrac{2}{\sqrt{x} } }{1 - \dfrac{2}{\sqrt{x} } } = \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg] =\lim_{x \to 0} \frac{ \bigg(1 + \dfrac{2}{\sqrt{x} } \bigg)' }{\bigg( 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x} } \bigg)'} =$

$= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \bigg( \dfrac{2}{\sqrt{x} } \bigg)' }{ \bigg( -\dfrac{2}{\sqrt{x} } \bigg)'} = -\lim_{x \to 0} \frac{ 2\bigg( \dfrac{1}{\sqrt{x} } \bigg)' }{ 2\bigg( \dfrac{1}{\sqrt{x} } \bigg)'} = -\lim_{x \to 0} \frac{ \bigg( \dfrac{1}{\sqrt{x} } \bigg)' }{ \bigg( \dfrac{1}{\sqrt{x} } \bigg)'} = -\lim_{x \to 0} \frac{-\dfrac{2}{\sqrt{x} } :x }{-\dfrac{2}{\sqrt{x} } : x} =$

$= -1$

2)

$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)}{( \sqrt{x} - 2 )(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2 } = 0,25$

3)

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \sqrt{x} }{1 - \sqrt{x} } = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} )^{4} - \sqrt{x} }{1 - \sqrt{x} } =- \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}((\sqrt{x} )^{3} - 1) }{ \sqrt{x} -1 } =$

$=\displaystyle - \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1) }{ \sqrt{x} -1 } = - \lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x + \sqrt{x} + 1) =$

$= -\sqrt{1} (1 + \sqrt{1} + 1 )= -(1 + 1 + 1) =-3$