Question

«Окружность»
Вариант 1.
1.Центральный угол ВОС равен 40°. Найти вписанный угол, опирающийся на дугу ВС.
2. Прямая АВ касается окружности в точке В. Радиус окружности 9 см, а центр О, АО=41 см. Найти АВ.
3.В окружности хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. АВ=0,7 см, ВЕ=0,5 см, СЕ=0,4 см. Найти ДЕ, ДС.
4.Четырехугольник АВСД вписан в окружность диаметра АС. Найдите углы четырехугольника, если дуга ВС=100°, дуга СД=60°.
5.В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Answer 1

1) вписанный угол равен половине центрального угла по свойству вписанного угла => вписанный угол равен 20°
2) АВ-касательная к окружности, ОВ-радиус окружности, следовательно АВ перпендикулярно ОВ.
Рассмотрим прямоугольный треугольние АВО, где, В=90*, ОА=41 см, ОВ=9 см.
По теореме Пифагора найдём АВ:
АВ=sqrt { 41^2-9^2 } =sqrt { 1600 } =40
3)АВ и СД пересекающиеся в точке Е хорды окружности, по свойству которых, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Пусть длина отрезка СЕ = Х см, тогда ДЕ = (Х + 5) см.

Тогда АЕ * ВЕ = СЕ * ДЕ.

4 * 6 = Х * (Х + 5).

Х2 + 5 * Х – 24 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х1 = -8. (Не подходит так как < 0).

Х2 = 3 см.

СЕ = 3 см, ДЕ = 3 + 5 = 8 см.

Ответ: Длина отрезка СЕ равна 3 см, длина ДЕ равна 8
см.
4)Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги. Углы B и D опираются на полуокружность ( AC как раз делит эту окружность на 2 равные части), значит, они равны по 90 гр. Дальше, сумма дуг BC и CD - дуга BCD, на которую угол A опирается, 100+60=160 гр., значит вписанный угол A равен 80 гр., а оставшийся угол равен 100 гр., по теореме сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180, можно было и подсчитать сумму оставшейся дуги : 360-(100+160)=200 гр., соответственно угол равен 100 гр. Ответ : A=80 гр., B=90 гр., C=100 гр., D=90 гр.
5)1. А, В, С - вершины треугольника. АС = 12 см.

2. Вычисляем длины боковых сторон АВ и ВС треугольника:

АВ = ВС = (32 - 12)/2 = 10 см.

3. Из вершины В проведем высоту ВЕ. В равнобедренном треугольнике, согласно его

свойствам, она выполняет еще функции медианы. Медиана делит сторону АС на два

одинаковых отрезка. Следовательно, АЕ = СЕ = 12 : 2 = 6 см.

4. Вычисляем длину высоты ВЕ. Для расчета используем теорему Пифагора:

ВЕ = √АВ² - АЕ² = √10² - 6² = √100 - 36 = √64 = 8 см.

5. Вычисляем площадь (S) заданного треугольника:

S = АС х ВЕ/2 = 12 х 8/2 = 48 см².

6. Вычисляем радиус окружности (r), которая вписана в треугольник:

r = 2S/р.

р (периметр) = 10 + 10 + 12 = 32 см.

r = 2 х 48/32 = 3 см.

Ответ: радиус окружности, которая вписана в треугольник, равен 3 см.