Question

Разложите функцию $f(x) = \rm{exp}\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ в ряд Маклорена в точке $x=0$

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Замечание: ошибка в условии... Надо: "... в точке x₀=0" ....

Замена:

$t =- \frac{1}{x^2}$

Классическое разложение в ряд экспоненты:

$e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!}+ \frac{t^3}{3!}+... +\frac{t^n}{n!}+....$

Возвращаемся к прежней переменной:

$t^2=(-\frac{1}{x^2})^2= \frac{1}{x^4}; ~~~~~~ 2! = 2$

$t^3=(-\frac{1}{x^2})^3= - \frac{1}{x^6} ; ~~~~~~ 3! = 6$

.....................................................

Итак:

$e^{-\frac{1}{x^2}} = 1 -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\cdot x^4} - \frac{1}{6\cdot x^6}+ ....$