Question

Дан квадрат ABCD со стороной $\sqrt{2}$. Точка O - точка пересечения диагоналей. OE - отрезок, перпендикулярный плоскости квадрата ABCD и OE=6.

Найдите косинус угла между плоскостями BCE и DEC.

В ответе укажите значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.

пожалуйста, помогите с решением!

Answer 1

Ответ:

$73\cdot \cos\alpha =1$

Объяснение:

• Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, точка О равноудалена от вершин квадрата. О - проекция точки Е на плоскость квадрата, значит, точка Е так же равноудалена от вершин квадрата, то есть ЕА = ЕВ = ЕС = ED.

Тогда ΔВЕС = ΔDEC по трем сторонам,  ⇒ ∠ВСН = ∠DCH.

Плоскости (ВСЕ) и (DCE) пересекаются по прямой CE.

Проведем DH⊥CE и соединим точки Н и В.

ΔDCH = ΔBCH по двум сторонам и углу между ними:

• DC = BC как стороны квадрата;
• СН - общая сторона;
• ∠ВСН = ∠DCH.

Следовательно, ∠ВНС = ∠DHC = 90°, то есть DH⊥СЕ, тогда ∠BHD - линейный угол двугранного угла между плоскостями (ВСЕ) и (DCE) - искомый.

BD = AD√2 = √2 · √2 = 2 как диагональ квадрата.

ΔЕОD: ∠ЕОD = 90°, по теореме Пифагора

  ЕD = √(EO² + OD²) = √(6² + 1) = √37

ЕС = ED = √37

Проведем ЕК - высоту равнобедренного треугольника ECD (значит, ЕК и медиана)

$DK=\dfrac{DC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

ΔEDK:  ∠EKD = 90°, по теореме Пифагора

 $EK=\sqrt{ED^2-DK^2}=\sqrt{(\sqrt{37})^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{37-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{73}{2}}$

Площадь ΔDEC:

$S=\dfrac{1}{2}DC\cdot EK=\dfrac{1}{2}EC\cdot DH$

$DH=\dfrac{DC\cdot EK}{EC}=\dfrac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{\dfrac{73}{2}}}{\sqrt{37}}=\sqrt{\dfrac{73}{37}}$

$BH = DH = \sqrt{\dfrac{73}{37}}$

По теореме косинусов из треугольника BHD:

$\cos\angle BHD=\dfrac{BH^2+DH^2-BD^2}{2\cdot BH\cdot DH}$

$\cos\angle BHD=\dfrac{\dfrac{73}{37}+\dfrac{73}{37}-4}{2\cdot \sqrt{\dfrac{73}{37}}\cdot \sqrt{\dfrac{73}{37}}}=\dfrac{\dfrac{146}{37}-4}{2\cdot \dfrac{73}{37}}=$

$=\dfrac{3\dfrac{35}{37}-4}{\dfrac{146}{37}}=-\dfrac{2}{37}\cdot \dfrac{37}{146}=-\dfrac{1}{73}$

Косинус острого угла  между плоскостями:

$\cos \alpha =-\cos\angle BHD=\dfrac{1}{73}$

$73\cdot \cos\alpha =73\cdot \dfrac{1}{73}=1$