Question

найти производные:
1) y = (cos2x)ˣ²⁺¹
2) arctg(x+y) = xy

Answer 1

Ответ:

1) $y'=(\cos{2x})^{x^2+1}(2x\ln{\cos{2x}}-2(x^2+1)tg2x)$

2) $y'=\dfrac{y+y(x+y)^2-1}{1-x-x(x+y)^2}$

Пошаговое объяснение:

1) Прологарифмируем обе части и возьмём от них производные:

$\ln{y}=\ln{(\cos{2x})^{x^2+1}}\\\ln{y}=(x^2+1)\ln{\cos{2x}}\\(\ln{y})'=((x^2+1)\ln{\cos{2x}})'$

Поскольку в левой части аргумент логарифма сам является функцией, то ln y — сложная функция, находится как производная логарифма, умноженная на производную самой функции, то есть y'.

$\dfrac{y'}{y}=2x\ln{\cos{2x}}-\dfrac{2(x^2+1)\sin{2x}}{\cos{2x}}\\y'=(\cos{2x})^{x^2+1}(2x\ln{\cos{2x}}-2(x^2+1)tg2x)$

2) Функция задана неявно, найдём производные от обеих частей, считая x независимой переменной, а y — функцией от x.

$arctg(x+y)'=(xy)'\\\dfrac{1+y'}{1+(x+y)^2}=y+xy'\\1+y'=(1+(x+y)^2)(y+xy')\\1+y'=y+y(x+y)^2+xy'+xy'(x+y)^2\\y'-xy'-xy'(x+y)^2=y+y(x+y)^2-1\\y'(1-x-x(x+y)^2)=y+y(x+y)^2-1\\y'=\dfrac{y+y(x+y)^2-1}{1-x-x(x+y)^2}$