Question

ВИЩА МАТЕМАТИКА


Розв'язати систему диференціальних рівнянь

Рівняння на прикріпленому фото ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\left \{ {{\frac{dx}{dt} =2x+8y+e^{-2t}} \atop {\frac{dy}{dt}=x+4y }} \right. .$

Пусть:  

$x=X\ \ \ \ \frac{dx}{dt}=X'\ \ \ \ \ y=Y\ \ \ \ \frac{dy}{dt} =Y'\ \ \ \ Z=e^{-2t}\ \ \ \ \frac{dz}{dt}=-2e^{-2t}\ \ \ \ \Rightarrow\\ \left\{\begin{array}{ccc}X'=2X+8Y+Z\\Y'=X+4Y\\Z'=2e^{-2t}\end{array}\right..$

1)$\left \{ {{X'=2X+8Y+Z} \atop {X''=2X'+8Y'+}} \\\left \{ {{X'=2X+8Y+Z} \atop {X''=2X'+8X+Z'}} \right. \\\left \{ {{X'=2X+8Y+Z} \atop {X''=2*(2X+8Y+Z)+8*(X+4Y)+Z'}} \right\\\left \{ {{X'=2X+8Y+Z\ |*6} \atop {X''=12X+48Y+Z'} \right.$

$\left \{ {{X'=12X+48Y+6Z} \atop {X''=12X+48Y+Z'}} \right. .$

Вычитаем из второго уравнения первое:

$X''-X'=Z'-6Z\\X''-X'=-2e^{-2t}-6*e^{-2t}\\X''-X'=-8e^{-2t}$

$1)\\ X''-X'=0\\t^2-t=0\\t*(t-1)=0\\t_1=0\ \ \ \ t_2=1\ \ \ \ \ \Rightarrow\\x_1=C_1e^{0*t}+C_2e^{1*t}=C_1e^0+C_2e^t=C_1+C_2e^t.\\2)\\x_2=Ae^{-2t}\\x'_2=-2Ae^{-2t}\\x''_2=4Ae^{-2t}\ \ \ \ \Rightarrow\\4At^{-2t}-(-2Ae^{-2t})=-8e^{-2t}\\6Ae^{-2t}=-8e^{-2t}\ |:6e^{-2t}\\A=-\frac{4}{3} .\ \ \ \ \ \Rightarrow\\x_2=-\frac{4}{3} e^{-2t}\\x=x_1+x_2\\x=C_1-\frac{4}{3} e^{-2t}+C_2e^t.$

2)

$\left \{ {{Y'=X+4Y} \atop {Y''=X'+4Y'}} \right. \ \ \ \ \ \left \{ {{Y'=X+4Y} \atop {Y''=2X+8Y+Z+4*(X+4Y)}} \right.\ \ \ \ \ \left \{ {{Y'=X+4Y\ |*6} \atop {Y''=6X+24Y+Z}} \right. \ \ \ \ \ \left \{ {{6Y'=6X+24Y} \atop {Y''=6x+24+Z}} \right. .$

Вычитаем из второго уравнения первое:

$Y''-6Y'=Z\\Y''-6Y'=e^{-2t}\\a)\\Y''-Y'=0\\k^2-k=0\\k*(k-1)=0\\k_1=0\ \ \ k_2=1\ \ \ \ \Rightarrow\\y_1=C_1e^{0*t}+C_2e^{1*t}=C_1+C_2e^t.\\b)\\y_2=Ae^{-2t}\\y_2'=-2Ae^{-2t}\\y_2''=4Ae^{-2t}\ \ \ \ \Rightarrow\\4Ae^{-2t}-(-2Ae^{-2t})=e^{-2t}\\6Ae^{-2t}=e^{-2t}\ |:6e^{-2t}\\A=\frac{1}{6} \\y_2=\frac{e^{-2t}}{6}\\ y=y_1+y_2\\y=C_1+\frac{1}{6}e^{-2t}+C_2e^t. \\OTBET: \left \{ {{x=C_1-\frac{4}{3}e^{-2t}+C_2e^t } \atop {y=C_1+\frac{1}{6}e^{-2t}+C_2e^t}} \right. .$