Question

Помогите решить, пожалуйста
xy'-2y=2x^4; y(1)=0

Answer 1

Решение.

Решить задачу Коши .

$\bf xy'-2y=2x^4\ \ ,\ \ \ y(1)=0\\\\y'-\dfrac{2}{x}\cdot y=2x^3$

Это линейное дифф. ур. 1 порядка. Решаем заменой .

$\displaystyle \bf y=uv\ ,\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+\dfrac{2}{x}\cdot uv=2x^3\ \ ,\ \ \ u'v+u\cdot (v'+\dfrac{2}{x}\cdot v)=2x^3\ \ ,\\\\\\1.\ v'+\dfrac{2}{x}\cdot v=0\ \ \Rightarrow \ \ \int \frac{dv}{v}=-2\int \frac{dx}{x}\ \ ,\ \ lnv=-2\, lnx\ \ ,\ \ v=x^{-2}\\\\\\2.\ \ u'v=2x^3\ \ .\ \ \frac{du}{dx}\cdot x^{-2}=2x^3\ \ ,\ \ \int du=\int 2x^5\, dx\ \ ,\ \ u=\frac{x^6}{3} +C\\\\\\3.\ \ y=\frac{1}{x^2}\cdot \Big(\frac{x^6}{3}+C\Big)\ \ ,\ \ \ y=\frac{x^4}{3}+\frac{C}{x^2}$  

Это общее решение д.у. 1 пор.

$\bf 4.\ \ y(1)=0\ \ ,\ \ y(1)=\dfrac{1}{3}+C=0\ \ ,\ \ C=-\dfrac{1}{3}\\\\\\\widetilde {y}=\dfrac{x^4}{3}-\dfrac{1}{3x^2}\ \ \ \ ,\ \ \ \ \widetilde {y}=\dfrac{x^6-1}{3x^2}$

Это частное решение д.у.1 пор. с заданными начальными условиями .