Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Пределы:

1) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{2x} =2 } }$

2) $\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin \dfrac{x}{3} } = 9} }$

3) $\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} =\frac{2}{3} } }$

4) $\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} \dfrac{x}{2} }{2x^{2} } = \frac{1}{8} } }$

Примечание:

Первый замечательный предел:

$\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 } }$

Следствие из первого замечательного предела:

$\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin g(x)}{g(x)} = 1 } }$ при условии, что $\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} g(x) = 0$

--------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ если $\exists f(x)$ в точке $x = a$

Теоремы: (при условии, что $f(x), g(x)$ имеют предел в точке $a$)

Предел суммы:

$\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$

Предел произведения:

$\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$

Следствие из предела произведения:

$\displaystyle \lim_{x \to a} (k \cdot f(x)) = k \lim_{x \to a} f(x)$

Предел частного:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) }{\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)}$ при условии, что $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$

Объяснение:

1)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin 4x}{2 \cdot 2x} = 2\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 2 \cdot 1 = 2$

2)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin \dfrac{x}{3} } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\dfrac{\sin \dfrac{x}{3} }{3x} } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\dfrac{\sin \dfrac{x}{3} }{9 \cdot \dfrac{x}{3} } } = \frac{1}{\displaystyle\lim_{x \to 0} \Bigg( \dfrac{\sin \dfrac{x}{3} }{9 \cdot \dfrac{x}{3} } \Bigg) } = \frac{1}{ \dfrac{1}{9} \displaystyle \lim_{x \to 0} \Bigg( \dfrac{\sin \dfrac{x}{3} }{ \dfrac{x}{3} } \Bigg) }=$

$= \dfrac{1}{\dfrac{1}{9} \cdot 1 } = 9$

3)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot \dfrac{\sin 2x}{2x} }{3x \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x} } = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{2x} }{3 \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x} } = \frac{2}{3} \lim_{x \to 0} \frac{ \dfrac{\sin 2x}{2x} }{ \dfrac{\sin 3x}{3x} } =$

$\displaystyle = \frac{2}{3} \cdot \frac{\displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg( \dfrac{\sin 2x}{2x} \bigg) }{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg(\dfrac{\sin 3x}{3x} \bigg) } = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{3}$

4)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} \dfrac{x}{2} }{2x^{2} } = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} \dfrac{x}{2} }{4 \cdot \dfrac{x^{2}}{4} } = \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} \dfrac{x}{2} }{\dfrac{x^{2}}{4} } = \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \dfrac{x}{2} }{\dfrac{x}{2} } \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin \dfrac{x}{2} }{\dfrac{x}{2} } =$

$= \dfrac{1}{8} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{8}$