Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Пределы:

1) $\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{6x} = \frac{5}{6} } }$

2) $\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin \dfrac{x}{4} } = 8 } }$

3) $\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 4x} = 1,25 } }$

4) $\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} \dfrac{x}{3} }{3x^{3}} =\frac{1}{81} } }$

Примечание:

Первый замечательный предел:

$\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 } }$

Следствие из первого замечательного предела:

$\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin g(x)}{g(x)} = 1 } }$ при условии, что $\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} g(x) = 0$

--------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ если $\exists f(x)$ в точке $x = a$

Теоремы: (при условии, что $f(x), g(x)$ имеют предел в точке $a$)

Предел суммы:

$\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$

Предел произведения:

$\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$

Следствие из предела произведения:

$\displaystyle \lim_{x \to a} (k \cdot f(x)) = k \lim_{x \to a} f(x)$

Предел частного:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) }{\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)}$ при условии, что $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$

Объяснение:

1)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{6x} = \frac{1}{6} \lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot\sin 5x}{5x} = \frac{5}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = \frac{5}{6} \cdot 1 = \frac{5}{6}$

2)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin \dfrac{x}{4} } =2\lim_{x \to 0} \frac{1}{ \dfrac{\sin \dfrac{x}{4} }{x} } = 2\lim_{x \to 0} \frac{1}{ \dfrac{\sin \dfrac{x}{4} }{4 \cdot\dfrac{x}{4} } } = \frac{2}{\displaystyle \lim_{x \to 0} \Bigg(\dfrac{\sin \dfrac{x}{4} }{4 \cdot\dfrac{x}{4} } \Bigg)} =\frac{2}{\displaystyle \frac{1}{4} \lim_{x \to 0} \Bigg(\dfrac{\sin \dfrac{x}{4} }{\dfrac{x}{4} } \Bigg)}=$

$= \dfrac{2}{\dfrac{1}{4} \cdot 1} = \dfrac{2}{0,25} = 8$

3)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x \cdot \dfrac{\sin 5x}{5x} }{4x \cdot \dfrac{\sin 4x}{4x} } = \lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \dfrac{\sin 5x}{5x} }{4 \cdot \dfrac{\sin 4x}{4x} } = \frac{5}{4} \lim_{x \to 0} \frac{ \dfrac{\sin 5x}{5x} }{ \dfrac{\sin 4x}{4x} } =$

$\displaystyle = \frac{5}{4} \cdot \frac{\displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg( \dfrac{\sin 5x}{5x} \bigg) }{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg(\dfrac{\sin 4x}{4x} \bigg) } = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{4} = 1,25$

4)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} \dfrac{x}{3} }{3x^{3}} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} \dfrac{x}{3} }{3^{3} \cdot \dfrac{x^{3}}{3^{3}} } =\frac{1}{81} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} \dfrac{x}{3} }{\dfrac{x^{3}}{3^{3}} } =\frac{1}{81} \Bigg(\lim_{x \to 0} \frac{\sin \dfrac{x}{3} }{\dfrac{x}{3} } \Bigg)^{3} =\frac{1}{81} \cdot 1 =$

$= \dfrac{1}{81}$