Question

Решите уравнение
$\boldsymbol{(x+\sqrt{x^2+1} )^8+(x^2+1+x\sqrt{x^2+1} )^8=337}$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^8+\left(x^2+1+x\sqrt{x^2+1}\right)^8=337$

Заметим одну интересную особенность:

$\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^8=\left(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2\right)^4=\left(2\left(x^2+1+x\sqrt{x^2+1}\right)-1\right)^4$

Введем замену:

$t=x^2+1+x\sqrt{x^2+1},\;t > 0$

Тогда исходное уравнение примет вид:

$\left(2t-1\right)^4+t^8=337$

Один из корней этого уравнения $t=2$ угадывается.

Покажем, что других положительных корней нет.

При $t > 2$ имеем, что $t^8 > 256,\;\left(2t-1\right)^4 > 81$, откуда $\left(2t-1\right)^4+t^8 > 337$.

При $0 < t < 2$ имеем, что $0 < t^8 < 256$ и $1 < \left(2t-1\right)^4 < 81$. Тогда $1 < \left(2t-1\right)^4+t^8 < 337$.

Получили, что $t=2$ единственный положительный корень.

Сделаем обратную замену и получим более простое уравнение:

$x^2+1+x\sqrt{x^2+1}=2$

Умножим его на $\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\ne0$ и получим:

$-\sqrt{x^2+1}=2x-2\sqrt{x^2+1}\\\sqrt{x^2+1}=2x$

Из последнего уравнения находим, что $x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ есть единственный корень исходного уравнения.

Уравнение решено!

Комментарий:

Решение уравнения $\sqrt{x^2+1}=2x$ тривиальное, поэтому его я опускаю. Получили полное решение без вычислительных излишеств, усложняющих восприятие сути задания.