Question

Основою піраміди є рівнобедрений трикутник зі сторонами 15см, 15см, 10см. Бічна грань з основою цього трикутника, перпендикулярна до площини основи, а дві інші утворюють кут 60° з площиною основи.Обчисліть об’єм піраміди.

Answer 1

В сантиметрах

AB=BC=15, AC=10, ASC⊥ABC

Построим на грани ASC пирамиду, равную данной. Получим четырехугольную пирамиду, в основании ромб, боковые грани наклонены к основанию под равными углами. Тогда вершина S падает в центр O вписанной окружности основания, т.е. в центр ромба.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, точкой пересечения делятся пополам, ∠AOB=90°; AO =AC/2 =5

OK⊥AB. По т о трех перпендикулярах SK⊥AB

∠SKO=60° (угол между гранью и основанием)

OB=√(AB^2-AO^2) =√(15^2-5^2) =10√2

OK =AO*OB/AB =5*10√2/15 =10√2/3 (высота из прямого угла в △AOB)

SO =OK tg60° =10√6/3 (△SKO)

S(ABC) =1/2 AC*OB =1/2 *10 *10√2 =50√2

V =1/3 S(ABC) SO =1/3 *50√2 *10√6/3 =1000√3/9  (см^3)  ~192,45