Question

4. Дано точки А(4; 2), B(0; 5), C(3; 9). Знайдіть: 1) координати і абсолютну величину вектора AB; 2) координати вектора DE 2AB – ЗВС.​

Answer 1

Ответ:

1) Координаты вектора:  $\displaystyle \overrightarrow{AB}\;(-4;3).$

Абсолютная величина вектора $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ равна 5.

2) Координаты вектора: $\displaystyle \overrightarrow{DE}\;(-17;-6).$

Объяснение:

Даны координаты точек. Найти координаты заданных векторов.

Дано:
А(4; 2), B(0; 5), C(3; 9).

Найти:
1) координаты и абсолютную величину вектора $\displaystyle \overrightarrow{AB}$;
2) координаты вектора DE = 2AB – ЗВС.​

Решение.

1) Найдем координаты и абсолютную величину вектора $\displaystyle \overrightarrow{AB}$.

• Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала.

Координаты вектора $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ вычислим, зная координаты точек его конца и начала:

 А(4; 2), B(0; 5).

$\displaystyle x_{ AB} = x_{B} - x_{A} = 0-4=-4;\\\\\displaystyle y_{ AB} = y_{B} - y_{A} = 5-2=3.$

Координаты вектора:  $\displaystyle \overrightarrow{AB}\;(-4;3).$

• Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат:
  $\displaystyle |\vec{a}|= \sqrt{a_{x} ^{2} +a_{y} ^{2}$

Найдем абсолютную величину вектора $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ (то есть его модуль, или длину).

$\displaystyle \left |\overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{x_{AB} ^{2} +y_{AB} ^{2} };\\\\\displaystyle \left |\overrightarrow{AB} \right| =\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}} =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5.$

Абсолютная величина вектора $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ равна 5.

2) Найдем координаты вектора $\displaystyle \overrightarrow{DE}=2 \overrightarrow{AB} -3 \overrightarrow{BC}$.

Найдем координаты вектора $\displaystyle \overrightarrow{BC}$.

$\displaystyle x_{ BC} = x_{C} - x_{B} = 3-0=3;\\\\\displaystyle y_{ BC} = y_{C} - y_{B} = 9-5=4.$

$\displaystyle \overrightarrow{BC}\;(3;4).$

• Произведением ненулевого вектора $\displaystyle \vec{a}$ на число k называется такой вектор $\displaystyle \vec{b} = k\cdot\displaystyle \vec{a}$, длина которого равна произведению модуля числа k на длину вектора $\displaystyle |\vec{a}|$, причём векторы $\displaystyle \vec{a}$ и $\displaystyle \vec{b}$ сонаправлены, если k неотрицательное число и противоположно направлены, если k - число отрицательное.
• Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
• Если векторы заданы своими координатами, то сумма этих векторов есть вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов - слагаемых.

Координаты вектора $\displaystyle \overrightarrow{DE}=2 \overrightarrow{AB} -3 \overrightarrow{BC}$:

$\displaystyle \overrightarrow{AB}\;(-4;3);\;\;\;\; \overrightarrow{BC}\;(3;4).$

$\displaystyle x_{ DE} = 2x_{AB} - 3x_{BC} = 2\cdot(-4)-3\cdot3=-8-9=-17;\\\\\displaystyle y_{ DE} = 2y_{AB} - 3y_{BC} = 2\cdot3-3\cdot4=6-12=-6.$

Координаты вектора:  $\displaystyle \overrightarrow{DE}\;(-17;-6).$

#SPJ1