Question

Найдите при каких значениях параметра альфа имеет развязку уравнения cos^2 x-(a+7)cosx+(4-a)(2a+3)=0

Answer 1

$\cos^2 x-(\alpha +7)\cos x+(4-\alpha )(2\alpha +3)=0$

Уравнение относительно косинуса - квадратное. Решим его:

$D=(\alpha +7)^2-4(4-\alpha)(2\alpha+3)=\alpha^2+14\alpha+49-4(8\alpha+12-2\alpha^2-3\alpha)=$

$=\alpha^2+14\alpha+49-32\alpha-48+8\alpha^2+12\alpha=9\alpha^2-6\alpha+1=(3\alpha -1)^2$

$\cos x=\dfrac{\alpha +7\pm(3\alpha -1)}{2}$

$\cos x_1=\dfrac{\alpha +7+(3\alpha -1)}{2} =\dfrac{\alpha +7+3\alpha -1}{2}= \dfrac{4\alpha +6}{2} =2\alpha +3$

$\cos x_2=\dfrac{\alpha +7-(3\alpha -1)}{2} =\dfrac{\alpha +7-3\alpha+1}{2}= \dfrac{8-2\alpha }{2} =4-\alpha$

Поскольку областью значений косинуса является отрезок от -1 до 1, то уравнение будет иметь корни, если хотя бы одно из выражений $2\alpha +3$ или $4-\alpha$ попадет в этот отрезок. Получим совокупность:

$\left[\begin{array}{l} -1\leqslant 2\alpha +3\leqslant1 \\ -1\leqslant4-\alpha \leqslant1\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} -1-3\leqslant 2\alpha \leqslant1-3 \\ -1-4\leqslant-\alpha \leqslant1-4\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} -4\leqslant 2\alpha \leqslant-2 \\ -5\leqslant-\alpha \leqslant-3\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} -2\leqslant \alpha \leqslant-1 \\ 3\leqslant \alpha \leqslant5\end{array}\right.$

Таким образом, при $\alpha \in [-2;\ -1]\cup [3;\ 5]$ уравнение будет иметь корни:

Ответ: $\alpha \in [-2;\ -1]\cup [3;\ 5]$