Question

Подскажите решение этой задачи по геометрии 11 КЛАСС!!!!!!!! КТО ЗНАЕТ ОТВЕТ!!!!!!
493 ​

Answer 1

Ответ:

У правильной пирамиды основанием является правильный многоугольник.

Объем пирамиды: $V= \frac{1}{3} S_{осн} H$

а) у правильной четырехугольной пирамиды основание квадрат.

$S_{осн}={a}^{2}$

Надо найти высоту пирамиды H.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, в треугольнике, состоящей из радиуса описанной окружности около основания, высоты и бокового ребра. (На рисунке ΔSOB)

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника:

$R = \frac{a}{2 \sin( \frac{\pi}{n} ) }$

$R = \frac{a}{2 \times \sin( \frac{\pi }{4} ) } = \frac{a}{2 \times \frac{ \sqrt{2} }{2} } = \frac{a}{ \sqrt{2} }$

Боковое ребро a, по условию.

H²=a²-R²

${H}^{2} = {a}^{2} - {( \frac{a}{ \sqrt{2} }) }^{2} \\ {H}^{2} = {a}^{2} - \frac{ {a}^{2} }{2} \\ {H}^{2} = \frac{2 {a}^{2} - {a}^{2} }{2} \\ {H}^{2} = \frac{ {a}^{2} }{2} \\ H = \sqrt{ \frac{ {a}^{2} }{2} } \\ H = \frac{a}{ \sqrt{2} }$

И теперь объем:

$V = \frac{1}{3} \times {a}^{2} \times \frac{a}{ \sqrt{2} } = \frac{ {a}^{3} }{3 \sqrt{2} } = \frac{ {a}^{3} \sqrt{2} }{6}$

б) тоже можно решить также:

$S_{осн} = \frac{ {a}^{2} \sqrt{3} }{4}$

$R = \frac{a}{2 \sin( \frac{\pi}{3} ) } = \frac{a}{2 \times \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{a}{ \sqrt{3} }$

${H}^{2} = {a}^{2} - {( \frac{a}{ \sqrt{3} } )}^{2} \\ {H}^{2} = {a}^{2} - \frac{ {a}^{2} }{3} \\ {H}^{2} = \frac{3 {a}^{2} - {a}^{2} }{3} \\ {H}^{2} = \frac{2 {a}^{2} }{3} \\ H = \sqrt{ \frac{2{a}^{2} }{3} } \\ H = \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }$

$V = \frac{1}{3} \times \frac{ {a }^{2} \sqrt{3} }{4} \times \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } \\ V = \frac{ {a}^{3} \sqrt{2} }{12}$